Понятие функции комплексного переменного

   Даны две плоскости комплексных чисел  и .

у                                                       v

 

			G

 

 0                   х                               0                  u

       

 

 

Рассмотрим некоторое множество D в плоскости z и множество G в плоскости w. Если каждому числу  ставится в соотношении по некоторому закону определённое комплексное число , то говорят, что на множестве D задана однозначная функция комплексной переменной, отображённое множество D в множество G и обозначается . Множество D называется областью определения функции.

   Функцию  можно записать в виде , где ,  - действительные функции от переменных x,y.

    Если каждому значению z соответствует несколько разных значений w, то функция называется многозначной.

     Говорят, что функция   имеет предел в точке , равный числу , если .

   Для комплексных функций имеют место свойства, аналогичные соответствующим свойствам действительных функций:

;

,

 

    Функция   называется непрерывной в точке , если для неё выполняется свойство:

Это равенство эквивалентно двум равенствам:

.

Следовательно, непрерывность f точке  эквивалентно непрерывности функций и  в точке .

   Производная функция комплексного переменного. Пусть задана однозначная функция  на области D комплексной плоскости z.

   Производной от функции f(z) в точке z называется предел

       ,                     

когда z любым образом стремиться к нулю.

    Функцию f(z), имеющую непрерывную производную в любой точке области D комплексной плоскости, называется аналитической функцией на этой области.

     Основные свойства производных функций комплексных переменных, аналогичны соответствующим свойствам производных для функций действительных переменных.

      Условия Коши – Римана. Рассмотрим комплексную функцию , , определена на области D комплексной плоскости. Пусть она имеет производную в точке : . Тогда следующие равенства называют условиями Коши - Римана:

    Теорема 1. Если функция  имеет производную в точке , то её действительные компоненты u и v d в точке (x,y) имеют частные производные 1-го порядка, удовлетворяющие условию Коши-Римана.

     Теорема 2. Если функции u(x,y), v (x,y) имеют в точке (x,y) непрерывную частную производную, удовлетворяющую условие Коши-Римана, то её функция комплексная переменная имеет в точке производную, которую можно вычислить по формуле:

.

    Теорема 3. Для того чтобы функция  была аналитической на области D плоскости z, необходимо и достаточно чтобы частные произведения первого порядка функций u и v были непрерывны на D и выполнялось условие Коши-Римана:

; .

    Формулы Эйлера. Рассмотрим ряд

заменим в данном ряде z на iz, тогда 

.

                                                                           

                                                     cos z                 sin z

так как , , то заменяя в тождестве Эйлера z на –z, получаем:

.

Из этих равенств можно получить следующие:

,

Эти формулы также носят название Эйлера.

    Пользуясь тождеством Эйлера, получаем так называемую показательную формулу для представления комплексного числа:

    Пример 92. Дифференцируема ли функция f(z) = z²  - 2iz.

   Решение: f(z) = (x+iy)² -2i(x+iy) = x² +2xyi -y² -2xi + 2y = x² - y² +2y +

+ i(2xy - 2x), итак u = x² - y² +2y, v = 2xy - 2x, тогда

Условия Коши - Римана выполняются, следовательно, функция дифференцируема.