Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальное уравнение 1-го порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и её первую производную:

f (x,y,y¢) = 0,

x - независимая переменная, y - искомая функция, y¢ - её производная.

y¢ = f (x,y) (32)

Уравнение (32) называется уравнением 1-го порядка, разрешённым относительно производной.

Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется всякая функция которая при подстановки в уравнение обращается в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка в области D называется функция , обладающая следующими свойствами:

1) она является решением данного уравнения при любых значениях производной постоянной C, принадлежащей некоторому множеству;

2) для любого начального условия : , существует единственное значение С = С₀, при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение , получающееся из общего решения при конкретных значениях , удовлетворяющее заданному начальному условию_{анному решение ну данного уравнения при егральной кривой надо задать (ьных кривых, го уравнения.}

_{оизводную:}

называется частным решением.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить

(33)

Метод интегрирования уравнения с разделяющимися переменными состоит в следующем: перепишем уравнение (33) в виде . Умножим обе части данного уравнения на , получим:

. (34)

Если уравнение (33) представлено в виде (34), то говорят, что в нём разделены переменные. Интегрируя его, получим:

(35)

Выражение (35) представляет собой общий интеграл уравнения (4). Замечание. Разделив обе части уравнения (33) на (y), мы можем потерять те решения, при которых . Действительно, если при , то функция const - является решением (33).

Пример № 81. Решить уравнение , y (1) = 2.

Решение. Запишем уравнение в виде: , разделяя переменные получим: , интегрируя, находим общее решение . При делении на yмы могли потерять решение y = 0, но последнее содержится в общем решении при С = 0.

Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным если его можно представить в виде:

, (36)

где правая часть есть функция только отношения .

Введём новую функцию z, полагая , или y = x×z, тогда у¢ = х¢×z + x×z¢. Подставляя в (36), получаем:

Предполагая, что , имеем .

Интегрируя, получим:

Возвращаясь к старой переменной y = x×z, получим искомое решение однородного уравнения.

Пример № 82. Решить дифференциальное .

Решение. Убеждаемся, что данное уравнение является однородным:

или . Введём новую функцию z, полагая , или y = x×z, тогда у¢ = х¢×z + x×z¢. Подставляя в уравнение получим: х×xz× (х¢×z + x×z¢) = x² + (xz)². Сокращая на х² приходим к уравнению: . Разделяя переменные и интегрируя, получим:

z = ln +C, или ln +C.

Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если его можно представить в виде:

, (37)

где P(x), Q(x) - заданные функции. Если Q(x) º 0, то уравнение (37) называется линейным однородным уравнением. Уравнение (37) интегрируется следующими способами.

1. Метод Лагранжа.

Решаем однородное уравнение, то есть уравнение .

В этом уравнение переменные разделяются и его общее решение имеет вид:.

Общее решение будем искать в виде:

(38)

Подставляем y и y¢ в уравнение (37):

, или .

Интегрируя находим:

Подставляя найденное выражение в (38), получаем:

2. Метод Бернулли.

Решение уравнения (37) будем искать в виде:

у = u(x)×v(x).

Тогда уравнение (37) имеет вид:

(u(x)×v(x))¢ = Р(х) u(x)×v(x) + Q(x)

или

u¢(x)×v(x) + u(x)×v¢(x) - Р(х) u(x)×v(x) = Q(x).

Выберем в качестве v какое - нибудь частное решение уравнения:

v¢(x) - Р(х) ×v(x) = 0,

, откуда ln = , или v = .

Тогда для отыскания u получим уравнение

u¢(x) = Q(x).

откуда , значит общее решение данного уравнения имеет вид: .

Пример № 83. Найти общее решение уравнения .

Решение. Решим методом Лагранжа.

1. Находим вначале решение однородного уравнения . Разделяя переменные и интегрируя, находим: ln = ln + C или у = Сх.

2. Решение неоднородного уравнения ищем в виде: у = С(х)×х. Подставляем в уравнение данную функцию: С¢(х)×х + С(х) = С(х) + х² или С¢(х) = х, проинтегрируем последнее уравнение: С(х) = + А. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид: у = ( + А)×х.

Уравнения в полных дифференциалах. Рассмотрим дифференциальное уравнение

(39)

Это уравнение 1-го порядка, т.к. . Допустим, что , - непрерывны вместо со своими частными произв. и в некоторой области G. Если левая часть уравнения (39) является полным дифференциалом некоторой функции , т.е. =

= , то уравнение (39) называется уравнением в полных дифференциалах и может быть записано в виде . Как известно, для того чтобы выражение Рdx + Qdy было полным дифференциалом необходимо чтобы в области G выполнялось равенство