Дифференциальные уравнения второго порядка

Уравнение . Введём новую переменную , полагая и, мы получим уравнение 1-го порядка: . Решая его имеем: , где F(x) – одна из первообразных от f(x), т.к. , то

Уравнение . Это уравнение не содержит явно искомой функции y. Введём новую переменную и, замечая, что , получаем уравнение: . Допустим, что найдено общее решение этого уравнения , то общее решение имеет вид:

Пример 85. .

Решение. Это уравнение не содержит явно искомой функции y. Введём новую переменную и замечая, что , получаем уравнение: (1+х²)z¢ - xz = 0 - уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решая его, находим . Возвращаемся к старой переменной: . Интегрируя, получим общее решение

Уравнение вида . Это уравнение не содержит явно независимую перемен. x. Введём новую переменную . Дифференцируем это равенство по x:

Тогда .Функция является общим решением этого уравнения. Учитывая, что , получим уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрирую его получим общий интеграл:

Пример 86. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение не содержит явно независимую перемен. x. Введём новую переменную . Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными: 2 + z² = y×z×z¢, решая его находим Þ Þ . Таким образом, общее решение имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. Линейные однородные дифференциальные уравнения II - го порядка с постоянными коэффициентами

, (41)

где - const, . Разделим уравнение (41) на а₀ и введем обозначения , получим уравнение:

(42)

Уравнение к² + рк +q = 0 называют характеристическим уравнением.

Характеристическое уравнение является уравнением второй степени, поэтому имеет два корня.

1) Корни характеристического уравнения действительные и различные: . В этом случае общее решение уравнения (41) имеет вид:

2) Корни характеристического уравнения равные: .

Тогда общее решение однородного линейного уравнения имеет вид:

3) Корни характеристического уравнения комплексные.

Общее решение имеет вид:

Пример 87. Найти общее решение уравнения. .

Решение. Составляем характеристическое уравнение: к² + 4к +13 = 0, корни которого к_1,2 = - 2 ± 3i. Следовательно, общее решение имеет вид:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения IIго порядка с постоянными коэффициентами:

(43),

где - функция. Общее решение (43) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения применяют:

1) метод вариации пост.

2) метод подбора правой части.

Рассмотрим второй метод.

I. Правая часть уравнения .

В этом случае частное решение следует искать в виде:

где - многочлен той же степени, что и , с неизвестными коэффициентами, а r – число корней характеристического уравнения совпавших с нулем.

II. Правая часть уравнения .

Частное решение ищем в виде:

где - многочлен с неопределенными коэффициентами степени n,

r - число корней характеристического уравнения, совпавших с коэффициентом .

III. Правая часть уравнения

Тогда , где A, B – неизвестные коэффициенты,

r - ровно числу корней характеристического уравнения совпавших с bi.

Теорема. Если - частное решение линейное неоднородного уравнения (43), а У(x) – общее решение соответствующего однородного уравнения (41), то функция - является общим решением неоднородного уравнения (43).