Модуль 14. Числовые и функциональные ряды

               14.1. Числовые ряды.

Пусть дана числовая последовательность чисел:  Числовым рядом называется выражение

            = ,                              (43)                                    

где  - общий член ряда. Сумма S_n первых n членов ряда называется n - ой частичной суммой ряда: .

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм S_n при неограниченном возрастании номера n, то есть .

Предел S последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой ряда.

Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Геометрическая прогрессия: является сходящимся рядом при  и расходящимся при .

    Рассмотрим простейшие свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд (43) сходится и имеет сумму S, то ряд образованный из произведений всех членов данного ряда на одно и тоже число l: , то же сходится и имеет сумму lS.

2. Если ряд (43) и ряд (2), то есть ряд , сходятся, то ряд, образованный сложением соответствующих членов данных рядов: , тоже сходится.

3. Если ряд (43) сходится, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа членов.

     Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд (43) сходится, то общий член стремится к нулю при n ® ¥.

Стремление к нулю общего члена является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда. Если U_n не стремится к нулю, то ряд (43) расходится.

Пример 93. Доказать расходимость ряда .

Решение. Здесь  - необходимое условие выполнено, но ряд расходится. Покажем это: . Так как , то . , следовательно, ряд расходится.