Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора

Ряд      

называется рядом Тейлора для функции f(x). В частности, при a = 0 ряд принимает вид

Этот ряд называют рядом Маклорена для функции f(x).

Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.

1) Разложение в степенной ряд функции .

 - данное разложение имеет место на всей числовой оси.

2) Разложение в степенной ряд функции f(x) = sinx.

3) Если f(x) = cosx, то

- это разложение справедливо на (-¥; +¥).

4) Биномиальный ряд. .

Это разложение имеет место при m ³ 0, если -1 £ x £ 1,

                                  при -1 < m <0, если -1< x £ 1,

                                                 при m £ -1, если -1< x < 1.

5) Разложение в степенной ряд функции y = lnx.                   

При x = 0 функция lnx неопределенна, поэтому её нельзя разложить по степеням x, т.е. ряд Маклорена. Разложим функцию y = lnx в ряд Тейлора по степеням x - 1.

,

В частности,

Пример 103. Разложить в степенной ряд функцию .

Решение. Положим , тогда . Тогда .