Примеры составления математической модели

 

ПРИМЕР:

При изготовлении изделий I₁ и I₂ используются токарные, фрезерные станки, а также сталь и цветные металлы. По технологическим нормам на производство единицы изделия I₁ требуется 300 и 200 единиц соответственно токарного и фрезерного оборудования в станкочас, 10 и 20 единиц стали и цветных металлов в кг. Для производства I₂ требуется 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц тех же ресурсов. Цех располагает 12400 6800 станкочасами оборудования, 640 и 840 кг стали и цветных металлов соответственно. Прибыль от реализации единицы I₁ – 6 ден.единиц и I₂ – 16 д.е.

Требуется:

1. Свести исходные данные в таблицу, удобную для построения модели.

2. Составить матмодель задачи, показатель эффективности – прибыль.

3. Определить план выпуска изделий, обеспечивающих максимальную прибыль при условии, что время работы фрезерных станков должно быть использовано полностью.

 

Ресурсы	I1	I2	Объём ресурса
Токарные станки	300	400	12400
Фрезерные станки	200	100	6800
Сталь	10	75	640
Цветные металлы	20	50	840
Прибыль	6	16

 

х₁ – количество I₁; х₂ – количество I₂

max->f(x) = 6x₁ + 16x₂

 

; => x₂ = 68-2x₁ => f(x) = 6x₁ + 16(68-2x₁) = 1088 – 26x₁

 

3x₁ + 4(68-2x₁)  124 => -5x₁  -148

x₁ + 7(68-2x₁)  64 => -13x₁  -412

2x₁ + 5(68 – 2x₁)  84 => -8 x₁  -256

 

x₂  0 => 68-2x₁ 0 => -2x₁  -68

 

Т.к. оптимальными являются граничные точки, то выбираем точки 32 и 34. Функция максимальна при x₁ = 32

 

х₂ = 68 -2*32 = 68-64 = 4

 

max->f(x) = 6x₁ + 16x₂ = 6*32 + 16*4 = 192 + 64 = 256 д.е.

Ответ: 256 д.е.

_____________________________________________________________________

 

ПРИМЕР:

Технологическому отделу завода нужно решить задачу о приготовлении не менее 5 тонн сплава для производства детали. Сплав приготавливается из чистой стали и отходов цветных металлов. Расход стали не должен превышать 4 тонны, а цветных металлов – 6 тонн. Отношение цветных металлов к массе стали в сплаве должно быть не более 7/8. Технологические условия таковы, что на процесс плавни и литья не может быть отведено не более 18 часов. При этом на одну тонну стали уходит 4,5 часа, а на одну тонну цветных металлов – 2 часа производственного времени. Стоимость тонны стали – 3 д.е., цветных металлов – 5 д.е. Требуется составить матмодель, на основе которой можно найти состав сплава при условии минимизации его стоимости. Решить задачу при условии, что отношение массы цветных металлов к массе стали в сплаве должно быть равно 7/8.

 

х₁ – масса стали

х₂ – масса цветных металлов

 

f(x) = 3x₁ + 5x₂ (min)

 

 ;  ;  ;  ;

Т.к. оптимальными являются граничные точки, то выбираем точки 2  и 2,52.

 

При х₂ = 2 :

х₁ = = =

f(x) = 3x₁ + 5x₂ = 3 +5 =

 

При х₂ = 2,52:

х₁ = = =

f(x) = 3x₁ + 5x₂ = 3 +5*2,52 = 8,64 + 12,6 = 21,24

Очевидно, что функция минимальна при х₂ = 2 .

min->f(x) = 3x₁ + 5x₂ =

Ответ: .

 

3 Вычислительный эксперимент

 

Эксперимент – это метод исследования некоторого объекта в управляемых условиях. Чтобы дать жизнь новым конструкторским разработкам, внедрить новые технические решения в производство или проверить новые идеи, нужен эксперимент. В недалеком про­шлом такой эксперимент можно было провести либо в лабораторных условиях на специально создаваемых установках, либо на натураль­ном образце изделия, подвергая его разнообразным испытаниям. С развитием вычислительной техники появился новый метод исследо­вания – компьютерный эксперимент.

Компьютерный эксперимент включает совокупность целенаправленных действий исследователя над компьютерной моделью.

Эксперимент состоит из наблюдений, а каждое наблюдение – из выполнения цикла действий с моделью.

Для организации экспериментов наиболее важно следующее:

– простота повторений условий эксперимента;

– возможность управле­ния экспериментом, включая его прерывание и возобновление;

– лег­кость изменения условий проведения эксперимента;

– определение временного периода исследования модели.

Эксперимент требует затрат труда и времени и, следовательно, финансовых затрат. Чем больше мы хотим получить информации от эксперимента, тем он дороже. Средством достижения приемлемого компромисса между максимумом информации и минимумом затрат ресурсов является план эксперимента.

План эксперимента определяет:

1. объем наблюдений (вычислений);

2. порядок проведения наблюдений и расчетов;

3. способы накопления и статистической обработки результатов наблюдений.

Планирование экспериментов имеет следующие цели:

1. сокраще­ние общего времени моделирования при соблюдении требований к точности и достоверности результатов;

2. увеличение информатив­ности каждого наблюдения;

3. создание структурной основы процесса исследования.

Все эксперименты можно разбить на две группы – физические и вычислительные – в зависимости от того, в каких условиях они проводятся.

Физический эксперимент – это способ позна­ния природы, заключающийся в изучении природных явлений (объ­ектов) в специально созданных условиях. Физический эксперимент проводится над физической моделью. Он может быть лабораторным или натурным.

Пример лабораторного эксперимента. Известный химик XVIII в. Антуан Лавуазье, изучая процесс горения, производил многочислен­ные опыты. Он моделировал процессы горения с различными веще­ствами, которые нагревал и взвешивал до и после опыта. Оказалось, что некоторые вещества после нагревания становятся тяжелее. Ла­вуазье предположил, что к этим веществам в процессе нагревания что-то добавляется. Моделирование и последующий анализ резуль­татов привели к установлению нового вещества – кислорода, к обобщению понятия «горение», дали объяснение многим известным явлениям и открыли новые возможности для исследований в разных областях науки, в частности в биологии, так как кислород оказался одним из основных компонентов дыхания и энергообмена животных и растений.

Лабораторный эксперимент проводится, если воспроизведение исследуемого физического объекта в целях эксперимента в реаль­ных масштабах невозможно, нежелательно или слишком дорогосто­яще (например, цунами).

При лабораторном эксперименте метод исследований заключает­ся в создании физической модели объекта в уменьшенных масшта­бах и проведении экспериментов на этой модели в специально соз­данных или естественных условиях. Выводы и данные, полученные в этих экспериментах, распространяются затем на объект в реальных масштабах. В широком смысле любой лабораторный эксперимент является моделированием, поскольку в эксперименте наблюдается конкретный случай объекта в частных условиях, а требуется полу­чить общие закономерности для всего класса подобных объектов в широком диапазоне условий. Искусство экспериментатора состоит в достижении физического подобия между объектом, наблюдаемым в лабораторных условиях, и всем классом изучаемых объектов.

Примеры применения лабораторного эксперимента: исследова­ние обтекания летательных аппаратов в аэродинамических трубах; гидродинамические исследования на уменьшенных моделях кораб­лей и плотин; изучение стихийных явлений и их последствий.

Широко лабораторный эксперимент используется в проектирова­нии. После того как опытный образец сконструирован, может быть проведено лабораторное испытание, основная цель которого – убедиться в том, что аппаратура модели работает так, как проекти­ровалось. В ходе испытаний ликвидируются технические дефекты опытного образца, составляются планы контрольных испытаний.

Многие объекты сегодня моделируют с помощью проведения лабораторных экспериментов. Однако не всегда удается построить модель с заданной точностью и достаточно простую. Сложные объ­екты содержат множество соединений, ненаблюдаемые состояния, в связи с чем метод отождествления их параметров при лабораторном моделировании для получения эмпирических зависимостей пред­ставляет проблему. Поэтому применяют метод проб и ошибок для подгонки модели под реальный процесс, используя при этом натур­ный физический эксперимент.

Пример натурного эксперимента. Моделирование при создании новых технических средств можно рассмотреть на примере истории развития космической техники.

Для реализации космического полета надо было найти ответ на два вопроса: как преодолеть земное притяжение и как обеспечить продвижение в безвоздушном пространстве? К. Э. Циолковский предложил для передвижения в пространстве создать реактивный двигатель, в котором используется топливо из смеси жидкого кисло­рода и водорода, выделяющих при сгорании большую энергию. Он составил довольно точную описательную модель будущего межпла­нетного корабля с чертежами, расчетами и обоснованиями.

Описательная модель К. Э. Циолковского стала основой для ре­ального моделирования в конструкторском бюро под руководством С. П. Королева. В натурных экспериментах испытывались различные виды жидкого топлива, форма ракеты, система управления полетом и жизнеобеспечения космонавтов, приборы для научных исследова­ний и т.п. Результатом моделирования стали мощные ракеты, кото­рые вывели на околоземное пространство искусственные спутники Земли, корабли с космонавтами на борту и космические станции.

При натурном эксперименте исследуют сам объект. Модель яв­ляется натурной, если она — материальная копия объекта модели­рования. Практика свидетельствует, что самое лучшее средство для определения свойств объекта – натурный эксперимент, т. е. исследование свойств и поведения самого объекта в нужных усло­виях. Неточность расчетов компенсируется увеличением объема на­турных экспериментов, созданием ряда опытных образцов и «довод­кой» изделия до нужного состояния. Так поступают при создании, например, телевизора нового образца.

Однако во многих случаях натурный эксперимент невозможен либо опасен для жизни и здоровья людей. Например, наиболее пол­ную оценку новому виду ядерного оружия и способам его приме­нения может дать война. Натурный эксперимент с новой конструк­цией космического корабля может вызвать гибель людей. Натурное исследование нового лекарства опасно для жизни человека. Время подготовки натурного эксперимента и проведение мероприятий по обеспечению безопасности часто значительно превосходят время са­мого эксперимента.

При изучении объектов, где физический эксперимент невозмо­жен или нецелесообразен, вычислительный эксперимент является единственно возможным.

Вычислительный эксперимент заключается в выполнении вычис­лений по математической модели. Современные технические, эконо­мические, экологические, социальные и другие объекты настолько сложны, что не поддаются исследованию в нужной полноте и точ­ности обычными теоретическими методами. Особенности сложных объектов: наличие большого числа элементов; сложный характер связей между отдельными элементами; сложность функций, выпол­няемых объектом; наличие сложноорганизованного управления; не­обходимость учета взаимодействия с окружающей средой и воздей­ствия случайных факторов.

Имитируя поведение частей сложного объекта и их взаимодей­ствие с учетом влияния факторов и в условиях, близких к реальным, ЭВМ вычисляет любые характеристики объекта, предусмотренные программой исследований.

Разновидность вычислительного эксперимента – компьютер­ный эксперимент. Компьютерный эксперимент – это эксперимент, осуществляемый экспериментатором над исследуемым объектом с помощью компьютера и компьютерных технологий. Объектом ком­пьютерного эксперимента является математическая модель. Ком­пьютерный эксперимент – это эксперимент над математической моделью объекта исследования, который состоит в том, что по од­ним параметрам модели вычисляются другие ее параметры и на этой основе делаются выводы о свойствах объекта, описываемого мате­матической моделью.

Для организации экспериментов наиболее важны следующие ус­ловия:

• простота повторений эксперимента;

• возможность управления экспериментом, включая его прерыва­ние и возобновление;

• легкость изменения условий проведения эксперимента;

• исключение зависимости между последовательностями данных, регистрируемых в процессе повторений эксперимента;

• определением временного интервала исследования модели.

Для компьютерного эксперимента с математической моделью перечисленные условия создать проще, поскольку в отличие от фи­зического эксперимента он имеет преимущества, которые связаны с тремя особенностями:

1) экономия материальных ресурсов, требуемых для организации физического эксперимента;

2) возможность апробации объекта в изменяющихся по воле экс­периментатора условиях;

3) оценка работоспособности объекта с длительным жизненным циклом в сжатые сроки.

Таким образом, компьютерный эксперимент позволяет заменить дорогостоящий физический эксперимент расчетами на ЭВМ и в ко­роткие сроки осуществить исследование большого числа вариантов проектируемого объекта для различных режимов его эксплуатации, что значительно сокращает сроки разработки сложных объектов и их внедрения в производство.

Однако у данного вида эксперимента есть один недостаток по сравнению с физическим экспериментом. Он концептуально отли­чается от физического тем, что ошибка в описании математической модели может привести к выводам, не соответствующим свойствам изучаемого объекта. Поэтому чем больше факторов учтено в мате­матическом описании эксперимента, тем меньше вносимая ими по­грешность в результат эксперимента.

Не всякий физический эксперимент можно заменить вычисли­тельным. Это нельзя сделать, если цель эксперимента – исследо­вать еще неизвестные законы природы. Если же изучаемое явление (объект) полностью описывается известными законами природы (выведение спутника на орбиту, движение плазмы в магнитном поле и т. д.), компьютерный эксперимент может заменить физический или резко сократить объем данных, определяющихся с помощью физи­ческого эксперимента. Такое применение компьютерного экспери­мента дает значительную экономию финансовых средств и сокраща­ет сроки исследования.