Взаимосвязь моделирования и техники

Совершенство большинства технических устройств определяет­ся эффективностью преобразования физических субстанций: массы, энергии, импульса, информации и т. п. Эти преобразования подчинены фундаментальным законам природы, которые изучают физика, химия, биология и другие отрасли естествознания. Моделирование играет ре­шающую роль в изобретательской деятельности, при использовании результатов фундаментальных исследований для проектирования но­вых технических устройств и модернизации имеющихся.

Процесс реализации научных и технических идей — это процесс поиска разумного компромисса между желаемым и возможным, что доказывает история развития отраслей машиностроения и прибо­ростроения (ядерная энергетика, ракетостроение, вычислительная техника и т.д.). Объем необходимой информации формировался пу­тем проектировочных расчетов. По мере усложнения, удорожания и увеличения времени экспериментальной обработки технических устройств значимость проектировочных расчетов повышалась. Рос­ли и требования к достоверности таких расчетов.

ЭВМ стали материальной базой для быстрого развития математи­ческого моделирования и применения вычислительного эксперимен­та при проектных расчетах, оценке качества конструкторских реше­ний и др. Определенные предпосылки к широкому использованию математического моделирования и вычислительного эксперимента в технике были созданы благодаря разработке методов аналогового моделирования. Основу большинства этих методов составляло ис­пользование электрических модулей – аналогов для исследования процессов в механических, тепловых и гидравлических системах. Явления считаются математически аналогичными, если их описывают одинаковые по форме уравнения. На основе электротепловой аналогии были разработаны и изготовлены специализированные аналогово-вычислительные машины для моделирования процессов теплопроводности и теплообмена применительно к различным эле­ментам конструкций и технологического оборудования в машино­строении, энергетике, металлургии, химической промышленности и других отраслях.

В настоящее время математическое моделирование и вычисли­тельный эксперимент являются составными частями современных информационных технологий. Они позволили соотнести скорост­ные возможности ЭВМ со скоростями человеческого мышления (ин­туицией, ассоциативностью и др.).

Практическая реализация возможностей математического моде­лирования и вычислительного эксперимента значительно увеличи­вает эффективность инженерных разработок, что сокращает затраты на реализацию в технике передовых достижений современной науки.

 

5 Математическая модель

 

В качестве математической модели можно рассматривать систему математических уравнений, неравенств, формул, логико-математических конструкций и других математических выражений, описывающих наиболее существенные свойства реального объекта, его параметры, внутренние и внешние связи.

Классификация математических моделей

При классификации математических моделей могут использоваться разные признаки: по форме представления, по характеру процессов, протекающих и объекте, по целям создания и применения, но используемому математическому аппарату.

По форме представления бывают:

1. Аналитические модели. В аналитических моделях процессы, происходящие в реальных объектах, записываются в виде функциональных соотношений. Аналитические модели – это системы алгебраических, дифференциальных, интегральных, конечно-разностных уравнений, логических условий. Например, уравнения Максвелла – это аналитическая модель электромагнитного поля; закон Ома – аналитическая модель электрической цепи.

Решения аналитических моделей представляют в виде формул и функциональных зависимостей. Такие модели удобны при анализе сущности объекта и использовании в других математических моделях, но поиск их решений бывает часто трудным.

Аналитические модели исследуются методами:

а) аналитическим, когда стремятся получить в явном виде зави-симости для искомых характеристик данной системы или объекта;

б) численным, когда, не умея решать уравнения в явном виде, стремятся получить численные результаты при конкретных начальных данных;

в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения.

2. Имитационные модели. Их применяют тогда, когда построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. Имитационные модели – это такие математические модели, с помощью которых нельзя заранее вычислить или предсказать поведение объекта, а для предсказания поведения объекта необходим вычислительный эксперимент. В имитационном моделировании функционирование объектов описывается набором алгоритмов. Такие модели удобны для решения сложных задач, но ненаглядны и трудоемки при исследовании взаимосвязей между параметрами.

3. Комбинированные аналитико-имитационные модели. Если исследование объекта затруднено использованием только аналитического или имитационного моделирования, то применяют комбинированное аналитико-имитационное моделирование. Смешанный метод позволяет объединить достоинства предыдущих двух методов. При построении комбинированной модели проводится предварительное разложение объекта на составляющие, и для тех из них, где возможно, используют аналитические модели, а для остальных составляющих строят модели имитационные.

4. Формально-логические модели. Это модели, созданные на формальном языке. Например, пусть заданы множество Х= {Николай,Аркадий, Сидоров, Петров, Елена, Жанна, Илья, Татьяна} и отношения: Николай – супруг Елены, Жанна – супруга Аркадия, Татьяна – дочь Николая и Елены, Илья – сын Аркадия и Жанны, семьи Николая и Аркадия дружат друг с другом. Тогда множество X и множество перечисленных отношений Y, записанные при помощи предикатов математической логики или символов алгебры множеств, могут служить формально-логической моделью двух дружественных семей.

В соответствии с характером процессов, протекающих в объекте, модели могут быть статическими или динамическими, дискретными или непрерывными, или дискретно-непрерывными, детерминированными или стохастическими.

Статические модели служат для описания состояния объекта в какой-либо момент времени. Пример, закон Ньютона F = am – это статическая модель движущейся с ускорением а материальной точки массой т. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

Динамические модели отображают поведение объекта во времени. Пример. Модель S = gt²/2 – динамическая модель пути при свободном падении тела. Динамическая модель типа закона Ньютона: F(t) = a(t)m(t).

Дискретные модели отображают поведение систем с дискретными состояниями.

Непрерывные модели представляют системы с непрерывными процессами. Пример: модель S = gt²/2, 0 < t < 50 непрерывна на промежутке времени (0; 50).

Дискретно-непрерывные модели строятся тогда, когда исследователя интересуют оба типа этих процессов.

Детерминированные модели отображают процессы, в которых отсутствуют случайные воздействия, а стохастические — вероятностные процессы и события.

По цели создания и применения различают модели:

– балансовые;

– эконометрические;

– оптимизационные;

– сетевые;

– систем массового обслуживания;

– экспертные и др.

В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия материальных ресурсов и их использования.

Параметры эконометрических моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Наиболее распространены эконометрические модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений. Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации.

Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наиболее эффективным образом для достижения поставленной цели.

Сетевые модели наиболее широко применяются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс операций и событий и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения операций в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. Но также существуют и сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ.

Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания.

Экспертные модели наряду с машинными решениями содержат блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать база знаний. В этом случае ЭВМ, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области.

На практике часто используются комбинации этих моделей: имитационные эконометрические, имитационные оптимизационные, имитационные балансовые и т. д.

Наиболее распространенной является классификация по используемому математическому аппарату. В зависимости от используемого математического аппарата и применяемых методов формализации различают модели:

— математической физики;

— линейного и нелинейного программирования;

— корреляционно-регрессионные;

— матричные;

— сетевые;

— игровые;

— массового обслуживания;

— конечных автоматов и т. д.

Этапы математического моделирования составляют:

1. Огрубление исходного объекта.

2. Построение математической модели.

3. Выбор численного метода решения.

4. Построение алгоритма.

5. Написание программы.

6. Оценка модели и анализ результатов.

7. Интерпретация результатов и уточнение модели.

Огрубление исходного объекта

Математическое описание исследуемых объектов зависит от двух основных условий: 1) природы объекта; 2) достоверности и точности изучения и исследования объекта.

Первое условие определяет содержание информационной модели, которая составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, электротехники, экономики, теории пластичности, теории упругости и т. д.

Второе условие определяет выбор принципов, на основании которых будет строиться модель. На этом этапе необходимо установить, в чем именно заключается задача. Построение математической модели состоит в определении связей между частями объекта и внешней средой и создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связи между интересующими специалиста физическими величинами и факторами, влияющими на конечный результат. Обычно их оказывается настолько много, что ввести в модель всю их совокупность не удается. Поэтому при построении математической модели возникает задача выявить и исключить из рассмотрения факторы, несущественно влияющие на конечный результат. Нет установленных критериев, позволяющих подразделять признаки на существенные и несущественные, поэтому исследователю приходится опираться на сложившуюся практику, собственный опыт и интуицию. Исключение из рассмотрения несущественных признаков приводит к упрощению реальной проблемы, но также и к огрублению предполагаемого результата. Например, предположение о невесомом стержне, нерастяжимой нити, блоке без трения и другие идеализированные представления об окружающем мире. Эти понятия не существуют в реальной действительности, они являются абстракциями, составной частью идеализации, предпринятой автором модели. Тем не менее их часто можно считать хорошим приближением к реальным ситуациям.

На основе данных эксперимента выдвигают гипотезы о связи между величинами, выражающими конечный результат, и факторами, вводимыми в математическую модель; определяют, к какому виду относится объект исследований; описывают параметры состояния объекта, переменные, характеристики, факторы внешней среды. После идентификации объекта строится концептуальная модель, в которой:

• отражается состав критериев оптимизации и ограничений, определяющих целевую направленность модели;

• формулируются правила, в абстрактной форме описывающие основные свойства наблюдаемых объектов;

• производится выбор основных переменных, т. е. параметров, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;

• выдвигаются гипотезы о форме зависимостей между переменными модели;

• проводится формализация основных соотношений модели с последующим анализом этой модели, представленной в аналитической или графической форме.

Построение математической модели

При построении математической модели реальный объект всегда упрощается, схематизируется и затем описывается с помощью соответствующего математического аппарата. Общих способов построения математических моделей нет: в каждом случае модель выбирается исходя из задачи исследования. Если исходные данные известны неточно, то нет смысла строить очень подробную и точную модель и тратить время на точную оптимизацию решения. Составителя модели всегда подстерегают две опасные крайности: а) утонуть в подробностях; б) слишком огрубить реальный объект или явление, потеряв их существенные свойства. Поэтому построение математической модели требует глубоких знаний не только и не столько математики, сколько существа моделируемых явлений. Построение математической модели имеет целью выявить оптимальное решение, обеспечивающее максимальную эффективность. А для этого надо располагать каким-то количественным критерием, показателем эффективности – целевой функцией. Этот показатель выбирается так, чтобы он наилучшим образом отражал целевую направленность объекта. 

Итак, для построения математической модели необходимо:

• описать зависимость основных свойств объекта от значений переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнений, неравенств, логико-математических конструкций);

• выделить внутренние связи объекта с помощью ограничений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;

• определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.

На этапе выбора математической модели устанавливаются: линейность и нелинейность объекта, его динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов и в основном сосредотачиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти объекты.

Важнейшее решение, которое часто принимается в самом начале процесса моделирования, касается природы рассматриваемых математических переменных. По существу они делятся на два класса. В один из них входят известные характеристики, т.е. величины, поддающиеся (по крайней мере теоретически) точному измерению и управлению; они называются детерминированными переменными. Другой класс составляют неизвестные характеристики, т. е. величины, которые никогда не могут быть точно измерены и имеют случайный характер; они называются стохастическими переменными. Модель, содержащая стохастические переменные, должна описываться математическим аппаратом теории вероятностей и статистики; детерминированные переменные в большинстве случаев требуют привлечения теории математического анализа. Природа некоторых ситуаций не всегда очевидна, другие ситуации характеризуются переменными обоих типов. Для построения модели чрезвычайно важно, чтобы природа переменных была правильно установлена.

Выбор численного метода решения

После построения математической модели рассматриваемого объекта наступает этап поиска (разработки) метода решения сформулированной математической задачи. Метод должен быть удобным для его реализации на ЭВМ и обеспечивать необходимое качество решения. Для выбора численного метода решения математической модели делают анализ полученной модели. При этом находят ответы на следующие вопросы:

1) использовать имитационное моделирование или метод оптимизации;

2) учитывать случайности или нет;

3) учитывать нелинейность некоторых соотношений или достаточно ограничиться их линейной аппроксимацией;

4) использовать существующие методы решения или разработать новый.

На выбор метода решения влияют характер факторов математической модели, число критериев оптимальности, вид целевой функции и уравнений связи.

Построение алгоритма Прежде чем применять вычислительные средства решения математических моделей, проводится их предварительное исследование методами прикладной математики. Анализируются вопросы множественности решений, устойчивости. Рассматриваются особенности математических моделей. Как результат выполняется построение вычислительного алгоритма, позволяющего решить рассматриваемую математическую модель с необходимой точностью. Поэтому следующий этап математического моделирования – выбор (или разработка) алгоритма для реализации модели на компьютере. Алгоритм решения математической модели на компьютере есть совокупность предписаний, обеспечивающих выполнение математических операций и логических действий, необходимых для достижения цели моделирования. Алгоритмы представляют в виде схем, графа, текста.

При построении схемы алгоритма используется блочный принцип. Каждый из блоков выполняет свои функции. Постепенно увеличивая уровень детализации на схеме алгоритма, приходят к алгоритмической записи процессов в проектируемом объекте. Затем делают анализ: полна ли полученная схема алгоритма, обладает ли она необходимой последовательностью развития реальных процессов в объекте, соответствует ли он выбранному численному методу решения, правильно ли использованы математические выражения.

Написание программы Этап включает подготовку программ на ЭВМ с использованием стандартных пакетов прикладных программ. Значительные трудности этого этапа могут быть вызваны большой размерностью математических задач. Процесс программирования называют программным моделированием.

На этапе программирования важно правильно выбрать вычислительные средства, которые обеспечивали бы простоту программирования, минимальные затраты на моделирование, доступность выбранной ЭВМ, быстрое получение результатов. Основой должно быть наличие средств оперативного построения и испытания моде- III Затем необходимо составить план программного моделирования, рассчитать приблизительные затраты памяти ЭВМ и машинного времени. Логическая схема алгоритма модели трансформируется в схему программы. Эта трансформация зависит от выбранного языка программирования, компилируемым или интерпретируемым он является. Далее переходят к проверке достоверности схемы программной модели, т. е. проверяют соответствие операций в схеме программы логической схеме модели.

   На данном этапе проводятся многочисленные модельные эксперименты. Изучается поведение модели при различных условиях, и па этой основе оценивается адекватность модели. Оценка адекватности модели предполагает оценку соответствия модели моделируемому объекту. Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна рассматриваемому объекту, поэтому результаты, полученные при анализе модели, носят приближенный характер. При моделировании имеется в виду соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для исследования. Проверку адекватности проводят на всех этапах построения модели, начиная с самого первого этапа – составления информационной модели. Если описание объекта будет составлено неадекватно реальной системе, то и модель, как бы точно она ни отображала описание системы, не будет адекватной оригиналу. Поэтому без ее проверки использование модельных результатов в практическом применении невозможно. В рамках адекватности модели осуществляются:

•расчет ошибки прогноза, т. е. величины расхождения между данными прогноза и отчетными данными;

• оценка чувствительности математической модели к изменениям значений ее отдельных параметров.

Если поведение модели соответствует характерным особенностям оригинала, то в этой части ее признают удовлетворительной.

В процессе оценки производятся расчеты с применением составленной модели или моделируется поведение модели. Вводятся различные исходные данные и получаются соответствующие им результаты. На основании этих результатов дается оценка различным сторонам или характеристикам смоделированного объекта. И производится отладка написанной программы. После комплексной отладки программы повторяют оценку затрат машинного времени на один цикл расчетов на модели.

В соответствии с целью моделирования используются разнообразные методы обработки: определение разного рода характеристик случайных величин и процессов, выполнение анализов – дисперсионного, регрессионного, факторного и др. Многие из этих методов входят в системы моделирования (GPSS World, AnyLogic и др.) и могут применяться автоматически.

Интерпретация результатов и уточнение модели

После анализа результатов моделирования осуществляется их интерпретация, т. е. перевод результатов в термины предметной области. Это необходимо, так как обычно специалист-предметник (тот, кому нужны результаты исследований) не владеет терминологией математики и моделирования и может выполнять свои задачи, оперируя лишь хорошо знакомыми ему понятиями. Поэтому математик- прикладник совершает обратный перевод с математического языка на язык первоначально сформулированной исходной задачи. Следует отчетливо осознавать как математический смысл полученных решений, так и то, что они означают на языке реального мира, который математика призвана описывать.

Процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, модели. Не исключено, что в ходе анализа полученных результатов модель может быть даже полностью пересмотрена. Перечисленные этапы математического моделирования находятся в тесной связи. В частности, могут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи приводит к слишком сложной математической форме модели, в этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает на этапе подготовки входной информации. Если необходимая информация отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики, приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы приспособиться к доступной исследователю информации.

На основании результатов анализа идет корректировка математической модели, численного метода решения, алгоритма и программы. Модель начинается с самого простого и развивается, принимая более сложные очертания, по мере того как достигается более глубокое понимание исследуемого объекта.