Попробуем составлять сложные функции

Группа – ЭТ-19                                                15.04.2020

Дисциплина – Математика  

Тема: Вычисление производных сложных функций.

    Записать конспект лекции с формулами и примерами решения в тетрадь. Решить задания для самостоятельного решения. Фото своих работ отправить в ВКонтакте   по ссылке  

 

Остаются в помощь таблицы с формулами и правилами дифференцирования.

Таблица производных Функция Производная С постоянное число 0 х 1 k x k ln x sin x cos x cos x -sin x tg x ctg x

Правила дифференцирования ,где k – число (коэффициент остается неизменным)  (производная суммы)  (производная произведения)   (производная частного)      (производная сложной функции)

ВАЖНО!!!! При нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

             

Разберемся сначала: Что значит сложная функция?

Успокою вас – это НЕ значит трудная, значит СЛОЖЕННАЯ.

Определение:  Функция y = f(x) называется сложной, если вместо аргумента (х) одной простейшей функции стоит другая простейшая функция.

Попробуем составлять сложные функции.

Включаем 2 новых термина.

Та функция, которая встает внутрь другой будет называться внутренней, а в которую встала эта функция будет называться внешней.

Пример 1. Возьмем две простейшие функции  из нашей таблицы.

у₁ = sin x, y₂ = e^x.

Из них можно составить 2 сложные функции, например:

1) Пусть у₁ будет внешней, а у₂ – внутренней, получим, что у₁ зависит от у₂, т.е. у₁(у₂)

Получаем новую функцию h(x) = у₁(у₂) = sin(e^x)

2) Пусть у₂ будет внешней, а у₁ – внутренней, получим, что у₂ зависит от у₁, т.е. у₂(у₁)

Получаем новую функцию g(x) = у₂(у₁) = e^{sin x}

Пример 2. Пусть у₁ = √х, у₂ = х⁵

Получаем: h(x) = у₁(у₂) = √ х⁵;         g(x) = у₂(у₁) = (√х)⁵

И так далее.

Только для решения новых примеров нам надо НАОБОРОТ из сложной функции выделить внутреннюю и внешнюю.

Пример 3.  Имеем функцию у =lna^x, разделяем ее на 2 простейшие функции: внутренняя  будет у = а^х, т.к. она влезла внутрь другой функции (внешней) у = lnx.

К простейше функции, не стоящей в таблице относятся и любые линейные функции или многочлены:    у = 7х – 4; у = х² + 9 и т.д.

Напоминаю: все простейшие функции из таблицы. ВНУТРЕННЯЯ встает вместо буквы Х во ВНЕШНЮЮ.