Производная сложной функции

Методом математической индукции можно показать, что

Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в том случае, когда переменные х и у функции являются независимыми.

Пусть – функция двух переменных , каждая из которых является функцией независимой переменной t: В этом случае функция является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные – промежуточные переменные.

Теорема 3. Если – дифференцируемая в точке функция и – дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции вычисляется по формуле

(8)

Дадим независимой переменной t приращение . Тогда функции получат приращения соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение функции z. Так как по условию функция дифференцируема в точке , то её полное приращение можно представить в виде

где Разделим выражение на и перейдем к пределу при . Тогда в силу непрерывности функций (по условию теоремы они дифференцируемы). Получаем:

т. е.

или

Частный случай: , где , т. е. – сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (8) имеем:

или (9)

Формула (9) носит название формулы полной производной.

Общий случай: , где Тогда – сложная функция независимых переменных и . Её частные производные и можно найти, используя формулу (8) следующим образом. Зафиксировав , заменяем в ней соответствующими частными производными :

(10)

Аналогично получаем: .

Таким образом, производная сложной функции по каждой независимой переменной равна сумме произведений частных производных этой функции по её промежуточным переменным на их производные по соответствующей независимой переменной .

Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пусть , где x и y – независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид