III. 6. Кривизна линий на поверхности

На поверхности рассматриваем линию , в естественной параметризации

Согласно п. II.7, кривизна кривой определяется из равенства

где кривизна кривой, единичный вектор главной нормали кривой. Обозначим единичный вектор нормали поверхности , это вектор

(III.6.1)
см. п. III.3. Умножим скалярно и :

если угол между и . Величина

называется нормальной кривизной кривой на поверхности или нормальной кривизной поверхности:

(III.6.2)
Вычислим в окрестности точки . Находим

Здесь и , так как . Обозначим

, , .

На основании (III.6.1) и (III.6.2) имеем

; ; .

Коэффициенты , , вычислены в точке поверхности. Выражение для нормальной кривизны линии на поверхности таково:

. (III.1.3)

Отсюда получаем

Воспользуемся значением из первой квадратичной формы (III.4.3) поверхности

(III.6.4)

Квадратичная форма

называется второй квадратичной формой поверхности. Таким образом, нормальная кривизна поверхности есть отношение второй и первой квадратичных форм поверхности.

Рассмотрим на поверхности кривые, проходящие через точку и имеющие с кривой общую соприкасающуюся плоскость. У этих кривых общий вектор касательной и общий вектор кривизны . Среди этих кривых находится плоская кривая, лежащая в соприкасающейся плоскости , эта плоскость содержит и нормаль поверхности. Следовательно, выполняется