III. 3. Касательная плоскость и нормаль поверхности

Пусть  точка регулярной поверхности  . В этой точке имеем неколлинеарные векторы , . Для любой линии  выполняется

,

т.е. вектор касательной  всякой линии поверхности , проходящей через точку , является линейной комбинацией векторов ,  - векторов касательных -линии и -линии; вектор  принадлежит оболочке  . Касательная прямая  всякой кривой  поверхности  лежит в плоскости . Касательные всех линий поверхности , проходящих через точку , образуют плоскость. Получена следующая

III.3.1. ТЕОРЕМА. Регулярная поверхность  в каждой своей точке  обладает касательной плоскостью < .     #

Пусть  и производные ,  вычислены в точке . Тогда уравнение касательной плоскости таково

.

Прямая  называется нормалью поверхности  в точке . Ее уравнения:

.

III.4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.

В произвольной точке  поверхности  зададим на­правление, выбрав , . Отношение дифференциалов

определяет направление на поверхности, имеем

.

Производная от  по направлению  имеет вид

.

Малое смещение  по кривой  на поверхности вычисляется на основании равенств

.

Отсюда получаем, вычисляя скалярный квадрат ,

. (III.4.1)
Введем обозначения:

, , . (III.4.2)
Значения этих скалярных произведений зависят от выбора точки  поверхности. Выражение

. (III.4.3)
называется первой основной квадратичной формой поверхности .