2020-08-05
127
Рассмотрим канонический вид кривой Безье и попытаемся понять, как из одной-единственной кривой получается бесконечно большое многообразие форм, которые используются в векторной компьютерной графике. Общий вид кривой Безье имеет вот такую конструкцию.
Канонический вид кривой Безье
Причем, это уже не математическое описание, а сугубо прикладное отображение, именно то, которое знакомо всем пользователям векторных программ.
Для построения этой кривой требуются четыре контрольные точки. Но кривая физически проходит только через две из них, они получили название опорных. Одна из точек называется начальной (start point), а другая — конечной (end point). Две точки остаются в стороне, они получили название управляющих (control point).
И для того чтобы их не "потерять" (особенно когда в документе кривых насчитываются многие десятки и сотни), в программах векторной графики, да и в любых других программах, управляющие точки соединяются с опорными точками какой-нибудь линией. Иногда пунктирной, иногда тонкой сплошной.
|
|
|
В – сплайны (basis spline, базовые сплайны)
Цель создания - локальная корректировка. В – сплайн записывается в виде
,
где: 
, 
Рассмотрим 4 точки со сплайнами второго порядка, т.е. линейными
Для векторов 
и 
имеем:
1. Граничные условия: при u = 0 
; при u = 1 
; 
или 
2. Граничные условия: при u = 1 ; при u = 2 
; 
или 
3. Граничные условия: при u = 1 
; при u = 2 
; 
или 
4. Граничные условия: при u = 2 ; при u = 3 
; 
или 
Складываем, собирая все в виде (1)
В общем случае В – сплайны определяются по рекуррентным формулам Кокса – Де Бура (Ризенфелд).
Графическое представление для n=0…4
k=1
k=2
k=3
xi – элементы узлового вектора, удовлетворяющего соотношению xi £ xi+1
Отсюда видно, что с каждой вершиной (
) связана только своя базисная (весовая) функция.
