Теорема про змiну моменту кiлькостi руху матерiальної системи

 

Повна похiдна за часом від вектора момента кiлькостi руху матерiальної системи вiдносно нерухомого центру О дорiвнює сумi моментiв всiх зовнiшнiх сил вiдносно того ж центру:

                      (13.22)

Моментом кiлькостi руху (кiнетичним моментом) матерiальної системи вiдносно центру О називається сума моментiв кiлькостей руху всiх матерiальних точок, що входять до складу системи, вiдносно того ж центра:

             (13.23)

де - радiус-вектор матерiальної точки маси m_k з початком в центрi О; m_k - маса k -тої точки;  - швидкiсть k -тої матерiальної точки. Якщо матерiальна система являє собою безперервно розподiлене матерiальне середовище, що заповнює деякий об’єм, то сума перейде у вiдповiдний iнтеграл.

В проекцiях на нерухомi осi декартових координат, початок яких спiвпадає з центром О, векторне рiвняння (13.22) еквiвалентне трьом скалярним:

                     (13.24)

де K_x, K_y, K_z – проекції вектора  на координатнi вiсi з початком в центрi О, якi можна визначити за формулами:

               (13.25)

де x_k, y_k, z_k - координати точки маси m_k.

Момент кiлькостi руху твердого тiла при обертаннi навколо нерухомої осi дорiвнює добутку моменту iнерцiї тiла вiдносно цiєї ж осi та проекцiї кутової швидкостi тiла на цю вiсь:

K_z = I_zω_z.                                (13.26)

У випадку сферичного руху твердого тiла

           (13.27)

Якщо осi координат, що мають початок в нерухомiй точцi О тiла, будуть головними осями iнерцiї, то

I_xy = I_xz = I_yz = 0

  i  з  (13.27) одержимо

                          (13.28)

Формули (13.28) визначають проекцiї моменту кiлькостi руху твердого тiла, що має одну нерухому точку, на осi координат, незмiнно пов’язанi з тiлом. З цих формул видно, що в загальному випадку проекцiї вектора  i проекцiї вектора  не пропорцiйнi мiж собою, а тому напрям векторiв  i  не спiвпадає.

При русi тiла навколо нерухомої осi за умови, що вона спiвпадає з вiссю обертання тiла, маємо

                         (13.29)

Якщо матерiальна система здiйснює складний рух, то момент кiлькостi абсолютного руху вiдносно нерухомого центра О ₁ дорiвнює сумi моменту кiлькостi руху центра мас системи вiдносно О ₁ в припущеннi, що в ньому зосереджена вся маса системи, i моменту кiлькостi вiдносного руху вiдносно центра мас:

                (13.30)

 

В проекцiях на декартовi осi координат

                (13.31)

Теорема про змiну кiнетичного моменту матерiальної системи має такi наслiдки:

а) внутрiшнi сили безпосередньо не впливають на змiну моменту кiлькостi руху матерiальної системи. Внутрiшнi сили можуть мати вплив на рух системи через зовнiшнi сили;

б) якщо головний момент всiх зовнiшнiх сил вiдносно деякого нерухомого центру дорiвнює нулю, то момент кiлькостi руху матерiальної системи вiдносно того ж центру не змiнюється за модулем i напрямом:

( /dt) = 0, K_O = const;

в) якщо головний момент всiх зовнiшнiх сил вiдносно нерухомої осi (наприклад, осi х) дорiвнює нулю, то момент кiлькостi руху матерiальної системи не змiнюється в процесi руху:

(dК_x/dt) = 0, K_x = const.

При розв’язаннi задач з використанням теореми про змiну моменту кiлькостi руху матерiальної системи необхiдно дотримуватись такої послiдовностi:

1) вибрати координатнi осi, направити одну з осей вздовж нерухомої осi обертання;

2) показати на рисунку всi зовнiшнi сили системи;

3) записати теорему про змiну головного моменту кiлькостi руху матерiальної системи вiдносно вибраної осi, наприклад

4) обчислити суму моментiв зовнiшнiх сил вiдносно осi z;

5) обчислити кiнетичний момент системи вiдносно нерухомої осi;

6) скласти рiвняння теореми про змiну кiнетичного моменту системи;

7) обчислити шуканi величини.

 

Зауваження. Для закріплення матеріалу §13 (пункт 13.6) необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 37.1 - 37.5, 37.50, 37.52, 37.56;

2) № 37.6, 37.7, 39.9, 37.11, 37.43 – 37.48, 37.53;

3) № 37.57 - 37.59.

Рекомендується розв’язати також задачі № 9.18, 9.19, 9.21, 9.24 - 9.28, 9.38, 9.39, 9.43 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.

13. 7. Теорема про зміну кінетичної енергіїматеріальної системи

 

Зміна кінетичної енергії матеріальної системи при її переході з початкового в кінцеве положення дорівнює сумі робот всіх зовнішніх та внутрішніх сил, прикладених до точок системи, на цьому переміщенні:

                       Т- Т ₀ = А^е + А^і,                        (13.32)

де Т ₀- початкове значення кінетичної енергії, Т - кінцеве значення кінетичної енергії, А^е і А^і - роботи всіх зовнішніх і внутрішніх сил системи.

Продиференціюємо рівність (13.32) за часом:

         (13.33)

де  і   - потужності зовнішніх і внутрішніх сил системи.

Рівність (13.33) є аналітичним записом теореми про зміну кінетичної енергії системи в диференціальній формі: повна похідна від кінетичної енергії за часом дорівнює сумі потужностей всіх зовнішніх і внутрішніх сил, прикладених до системи.

За допомогою теореми про зміну кінетичної енергії в інтегральній формі визначають:

1) швидкості точок матеріальної системи;

2) роботу однієї з сил, прикладених до системи, коли з умови задачі швидкості точок матеріальної системи відомі або їх можна визначити іншими методами.

Диференціальна форма теореми про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок застосовується для складання диференціальних рівнянь руху, а також для визначення лінійних або кутових прискорень.

Кінетична енергія матеріальної системи дорівнює сумі кінетичних енергій всіх матеріальних точок:

            (13.34)

Кінетична енергія твердого тіла обчислюється за формулами:

а) при поступальному русі

                             (13.35)

б) при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі

                            (13.36)

де І_z - момент інерції твердого тіла відносно осі обертання z, ω - кутова швидкість обертання;

в) при плоскому русі

                  (13.37)

де v_C - швидкість центра мас тіла, І_zC - момент інерції тіла відносно осі z, що проходить через центр мас перпендикулярно до площини руху,  ω - величина миттєвої кутової швидкості твердого тіла. В цьому випадку обчислення кінетичної енергії можна робити також за формулою

                          (13.38)

де І_Pz - момент інерції твердого тіла відносно осі z, що проходить через миттєвий центр швидкостей перпендикулярно до площини руху;

г) при обертанні навколо нерухомої точки (при сферичному русі)

,                             (13.39)

де І - момент інерції тіла відносно миттєвої осі обертання, ω - модуль миттєвої кутової швидкості.

Якщо вибрати початок рухомих осей х, у, z, пов’язаних з твердим тілом, в нерухомій точці О, то

   (13.40)

Якщо х, у, z є головними осями інерції твердого тіла в нерухомій точці О, то І_ху=І_xz=І_yz= 0, і значить

           (13.41)

д) в загальному випадку руху твердого тіла

                    (13.42)

де v_C - модуль швидкості центра мас, І_C - момент інерції відносно миттєвої осі, що проходить через центр мас, ω - модуль миттєвої кутової швидкості.

Якщо вибрати початок рухомих координатних осей х, у, z в центрі мас, то

  (13.43)

Якщо осі х, у, z є головними центральними осями інерції в центрі мас С, то І_ху=І_xz=І_yz= 0, і значить

    (13.44)

 

Теорема Кеніга: кінетична енергія механічної системи при довільному русі дорівнює сумі кінетичної енергії центра мас в припущенні, що в ньому зосереджена маса всієї системи, і кінетичної енергії системи в її русі по відношенню до центра мас:

                      (13.45)

де  - кінетична енергія системи в її русі відносно центру мас, v_kвід - швидкість k -тої точки системи по відношенню до рухомих осей координат.

Розв’язання задачі за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії можна проводити в такій послідовності:

1) показати на рисунку всі зовнішні і внутрішні сили системи. Якщо система незмінювана, то треба показувати тільки зовнішні сили;

2) обчислити суму робот всіх зовнішніх і внутрішніх сил на переміщеннях точок системи. Якщо система незмінювана, то потрібно обчислити тільки роботу зовнішніх сил;

3) обчислити кінетичну енергію системи в початковому і кінцевому положеннях системи;

4) записати теорему про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок:

,

для незмінюваної системи ;

5) визначити шукану величину.

 

Зауваження. Для закріплення матеріалу §13 (пункт 13.7) необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 38.1, 38.3, 38.4, 38.7 - 38.10, 38.11, 38.13, 38.14, 38.20, 38.21, 38.27;

2) № 38.16 - 38.18, 38.23, 38.24, 38.27, 38.28, 38.30 – 38.33, 38.35, 38.36, 38.38, 38.40, 38.44;

3) № 38.42, 38.43, 38.46, 38.47, 38.50, 38.51 - 38.53.

Рекомендується розв’язати також задачі № 9.46, 9.47, 9.49, 9.50, 9.52, 9.53, 9.55, 9.57 – 9.59, 9.63 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.