Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Ц-систему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л- и Ц-системах

Столкновение двух частиц называется упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния, в том числе не изменяется их внутренняя энергия. Термин "столкновение" предполагает, что взаимодействие между частицами происходит в течение какого-то ограниченного времени, после чего частицы движутся как свободные.

Процесс упругого столкновения можно проанализировать в рамках законов сохранения энергии и импульса. Эти результаты получались и подробно исследовались в курсе общей физики. Здесь мы интерпретируем их графически с помощью так называемых импульсных диаграмм. Ограничимся подробным рассмотрением простого, но важного и часто встречающегося случая, когда вторая частица до столкновения покоилась (в общем случае формулы очень громоздки), т.е.

, (1)

В этом случае импульс системы и относительный импульс определяются импульсом первого тела

и (2)

Тогда импульсы те в системе центра инерции до и после столкновения равны:

, (3)

, (4)

( - приведенная масса). Кинетическая энергия в Ц-системе

(5)

Тогда формулы для импульсов тел в Л-системе после столкновения можно записать в виде:

(6)

(7)

Рассмотрим три случая, которые отличаются друг от друга соотношением масс частиц и .

1. Налетающая частица легче покоящейся частицы , т.е.

Проведем следующие построения (См. рисунок). Отложим отрезок . Из точки отложим отрезок . Тогда очевидно, что отрезок будет представлять собой импульс налетающей частицы до столкновения: . Из точки проведем окружность радиусом . Точка будет лежать на этой окружности, а точка будет находиться внутри круга, т.к. при . Заметим, что отрезок , т.е. одновременно представляет собой импульс налетающей частицы в Ц - системе.

Рассмотрим на окружности произвольную точку . Отрезок можно рассматривать как импульс первой частицы после столкновения в Ц - системе: , т.к. . Следовательно, угол есть угол поворота первой частицы в Ц – системе. Тогда отрезок есть импульс первой частицы после столкновения в Л – системе: .

Одновременно, есть импульс второй частицы после столкновения в Л – системе: . Т.о. на одной векторной диаграмме удается одновременнопредставить векторы импульсов частиц до и после столкновений как в Л – системе, так и в Ц – системе. Именно это обстоятельство делает векторные импульсные диаграммы исключительно наглядными и позволяет установить из них связь между различными величинами в Л – и в Ц – системах. Например, из диаграммы сразу видно, что угол отклонения первой частицы в Л – системе может изменяться во всем интервале , а угол отклонения второй частицы в Л – системе может изменяться в интервале . Видно, что , когда , что имеет место при . При этом частицы разлетаются в разныестороны вдоль одной прямой: , а . Это соответствует "лобовому" столкновению частиц. При , . При этом , а . Это соответствует отсутствию столкновения частиц.

Установим связь между углами отклонения частиц и в Л – системе и углом поворота в Ц – системе. Углы и представляют собой углы отклонения частиц после столкновения по отношению к направлению удара, т.е. по отношению к вектору налетающей частицы , т.е. по отношению к отрезку на рисунке.

Сначала установим связь между углами и . Поскольку треугольник равнобедренный, то . Отсюда сразу получаем, что

(8)

Теперь установим связь между углами и . Из рисунка следуют соотношения:

Поскольку , а , то получаем

Эту формулу обычно записывают в виде:

(9)

Угол , т.к. точка лежит внутри круга. Поскольку , то при угол разлета частиц и после столкновения меньше чем :

, (10)

Рассмотрим случай "лобового" удара. Из диаграммы 1 видно, что в этом случае налетающая частица полетит в сторону, противоположную её начальному направлению движения: . Точка будет находиться на одном диаметре окружности слева от точки . Т.е. при "лобовом" столкновении . Поэтому

, т.е. ,

т.е.

(11)

Следовательно

(12)

Для покоящейся частицы при "лобовом" ударе , т.е.

(13)

Следовательно,

(14)

Если частица до столкновения покоилась, то наибольшую энергию, которую может потерять налетающая частица, будет равна энергии, приобретенной второй частицей именно после "лобового" столкновения:

(15)

Используя формулу (15) легко получаем:

(16)

Здесь - первоначальная энергия налетающей частицы.

Рассмотрим случай, когда налетающая частица тяжелее покоящейся частицы , т.е. . В этом случае построение векторной импульсной диаграммы производится аналогично тому, как это делалось выше для случая . Отличие будет состоять только в том, что теперь точка будет лежать вне круга радиуса , т.к. длина отрезка будет больше , поскольку (рис.10.6).

Такое, казалось бы, не столь большое отличие, приводит, однако, к существенному изменению результата взаимодействия частиц, по сравнению с рассмотренным выше случаем . В то время, как при скорость первой частицы после столкновения могла иметь любоенаправление , теперь угол отклонения налетающей частицы не может превышать некоторого максимального значения , так, что при величина может изменяться в пределах: . Значение угла может легко определено из векторной диаграммы 2. Максимальному отклонению первой частицы в Л – системе соответствует такое положение точки , при котором прямая AС касается окружности в точке E.

Поскольку треугольник AEO – прямоугольный, то .

Поскольку , а , то сразу получаем, что

(17)

Значению угла соответствует угол поворота в Ц – системе , так, что .

обсудим значение угла разлета. Теперь угол , т.к. точка лежит вне круга. Поскольку , то при угол разлета частиц и после столкновения больше чем :

, (18)

Кроме того, как это видно из диаграммы 2, одному и тому же значению угла будет соответствовать два различных значения угла в Ц – системе, т.к. прямая AC пересекает окружность в двух точках. Но это означает, что одному и тому же углу отклонения будет соответствовать две различные пары значений импульсов и . Кроме того, одному и тому же углу отклонения будет соответствовать два различных значения угла .

Пусть теперь налетающая ипокоящаяся частицы имеют одинаковую массу, т.е. , так, что . В этом случае векторная диаграмма имеет наиболее простой вид, т.к. отрезки и оказываются равными. Поэтому точки и будут лежать на противоположных концах диаметра (рис.3). B этом случае треугольник является равнобедренным. Поэтому . Следовательно, в случае частиц равных масс получаем: