Дифференциальное сечение рассеяния налетающей и покоящейся частиц в лабораторной системе

Формула Резерфорда

19 Малые одномерные колебания (свободные и вынужденные).

24 Малые колебания системы со многими степенями свободы. Собственные частоты и нормальные координаты

Рассмотрим случай малых колебаний системы частиц, имеющей степеней свободы. Самый общий вид функции Лагранжа такой системы таков:

(1)

(2)

Устойчивому положению равновесия соответствует такое состояние системы, в котором её потенциальная энергия имеет минимум. Малые отклонения от положения равновесия приводят к возникновению сил, которые стремятся вернуть систему обратно в состояние равновесия. Пусть имеет минимум при . При малых отклонениях от положения равновесия потенциальную энергию можно разложить в ряд Тейлора по величинам разности

, (3)

которые представляют собой малые отклонения от положения равновесия системы. Ограничимся в этом разложении членами второго порядка малости:

(4)

Примем за начало отсчета потенциальной энергии её значение в минимуме, т.е. будем считать, что . В точке минимума

(5)

Обозначим

, (6)

Из (6) следует, что коэффициенты симметричны относительно перестановки индексов:

(7)

С учетом всего сказанного, выражение для потенциальной энергии (4) для потенциальной энергии вблизи положения равновесия принимает простой вид:

(8)

Теперь упростим выражение для кинетической энергии в функции Лагранжа (15.2). Поскольку величины уже являются величинами второго порядка малости, то в силу малости отклонения от положения равновесия, в рамках рассматриваемой точности можно считать, что

(9)

Постоянные коэффициенты , так же как и величины симметрии величины относительно перестановки индексов: . С учетом всего сказанного функция Лагранжа (1) будет выглядеть так:

(10)

Теперь запишем систему уравнений Лагранжа для функции Лагранжа (10):

; (11)

Вычисляя производные и :

(12)

(13)

и подставляя их в уравнения Лагранжа, получаем:

, (14)

Здесь мы переобозначили индексы суммирования , чтобы уравнения движения имели более привычный вид. Или в развернутом виде:

(15)

Система дифференциальных уравнений (15) и есть уравнения движения для малых колебаний системы с степенями свободы для величин , ,……. .

Ищем решение системы в комплексном виде:

(16)

Здесь некоторые, пока неизвестные комплексные постоянные: . Подставляя (16) в систему уравнений (15), получаем после сокращения на общий множитель систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные :

;, (17)

Для того, чтобы эта система однородных уравнений имела отличные от нуля решения, необходимо, чтобы её определитель обращался в ноль:

, (18)

( - номер строки; - номер столбца).

Уравнение (18) называется характеристическим уравнением. Оно представляет собой алгебраическое уравнение порядка относительно величин . В общем случае оно имеет различных и положительных корней: , где . Определенные из уравнения (18) величины называются собственными частотами системы.

Согласно уравнению (18), собственные частоты колебаний полностью определяется только свойствами механической системы (коэффициентами и ), и не зависят от начальных условий (и соответственно от амплитуд колебаний).

После того, когда все собственные частоты определены, можно частично определить значения коэффициентов . Если все частоты различны, то значения величин пропорциональны минорам определителя (15.21), в котором нужно заменить на величину . Каждому значению координаты будет соответствовать свой минор :

(19)

( - номер строки; - номер столбца). Тогда частное решение будет иметь вид:

, . (20)

Здесь - произвольные комплексные постоянные.

Общее решение системы уравнений (15) есть суперпозиция частных решений (20). Переходя как обычно к вещественной части общее решение можно записать в виде (миноры величины действительные):

, (21)

Здесь обозначено

(22)

Общее решение (21) содержит неизвестных постоянных и . Эти постоянные определяются из начальных условий:

; ; ; (23)

Из формулы (23) видно, что изменение каждой из координат со временем представляет собой наложение простых гармонических колебаний , ,……. с произвольными амплитудами и фазами (которые определяются из начальных условий), но имеющих вполне определенные частоты , ,……. , которые от начальных условий не зависят.

Как уже отмечалось ранее, из формулы (21) следует, что изменение каждой из координат со временем представляет собой наложение простых гармонических колебаний с произвольными амплитудами и фазами, но имеющими вполне определенные частоты . Но это означает, что всегда от обобщенных координат можно перейти к новым обобщенным координатам, чтобы каждая из них соответствовала только одной собственной частоте . Ясно, что новыми обобщенными координатами и будут величины , ,……. . Это непосредственно следует из самого вида общего решения (21). Действительно, рассматривая соотношений (21) как систему уравнений относительно неизвестных , можно выразить все старые обобщенные координаты через величины ,……. :

(24)

Но это как раз и означает, что величины можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называются нормальными координатами (или главными), а совершаемые ими простые гармонические колебания – нормальными колебаниями системы, которым соответствуют нормальные частоты . Поскольку каждая нормальная координата меняется по гармоническому закону , то каждая из величин удовлетворяет обычному уравнению для одномерных гармонических колебаний

, (25)

Сказанное выше означает, что в нормальных координатах система уравнений (15) распадается на независимых друг от друга уравнений, с независимыми начальными условиями. Другими словами, нормальные координаты полностью независимы друг от друга. Последнее означает, что функция Лагранжа (15.13), выраженная через нормальные координаты , может быть представлена как сумма функций Лагранжа для каждой нормальной координаты

(26)

Здесь - положительные постоянные.

Сказанное выше фактически означает, что и потенциальная и кинетическая энергия

; ; ,

могут быть одновременно приведены к диагональному виду.

25Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона

Одна из форм уравнения движения, это уравнения Лагранжа, когда задается функция Лагранжа , как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей , а затем составляется система уравнений Лагранжа

, (1)

Однако такая форма описания механических систем не является единственно возможной. Ряд преимуществ, особенно при исследовании общих теоретических вопросов механики, представляет другая форма записи уравнений движения, когда в качестве независимых переменных выбираются обобщенные координаты и обобщенные импульсы: и .

Чтобы перейти от набора переменных к новому набору переменных нужно воспользоваться стандартным преобразованием Лежандра. Для этого нужно выразить полный дифференциал функции Лагранжа не через дифференциалы и , а через дифференциалы обобщенных координат и импульсов и . Тогда величины, стоящие при соответствующих дифференциалах будут частными производными по обобщенным координатам и импульсам от некоторой функции этих же переменных. В результате получим уравнения движения в переменных .

Рассмотрим сначала для простоты, механическую систему с одной степенью свободы , т.е. с одной обобщенной координатой . Тогда , и уравнение Лагранжа будет имеет вид:

(2)

В этом случае движение механической системы описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка, а независимые переменные и входят в него явно не симметричным образом. Время играет в уравнениях Лагранжа роль независимой переменной, т.е. параметра в том смысле, что в эти уравнения не входит производная . Уравнение (2) можно формально записать в виде

, где (3)

- обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате .

В рассматриваемом случае преобразование Лежандра сводится к следующему. Вычислим полный дифференциал от функции Лагранжа :

(4)

В полученном выражении нужно исключить дифференциал , выразив его через дифференциал . Для этого воспользуемся очевидным равенством

(5)

Подставляя это в соотношение (4) получим

, т.е.

; (6)

Левая часть соотношения (6), есть дифференциал от энергии системы, т.к. по определению

(7)

Величина в уравнении (6) выражена через обобщенные координаты и импульсы, т.к. в правой части равенства (6), стоят дифференциалы именно этих величин. Величина

(8)

называется гамильтоновой функцией системы, или просто функцией Гамильтона. Из дифференциального равенства (6)

(9)

или

(10)

Это и есть искомые уравнения в переменных и - уравнения Гамильтона.

Видим, что для системы с одной степенью свободы, уравнения Гамильтона представляют собой два дифференциальных уравнения первого порядка, вместо одного дифференциального уравнения Лагранжа (2) второго порядка. В уравнения (10) переменные и входят симметричным образом. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называются каноническими уравнениями движения.

Наличие слагаемого с в дифференциальной форме (9), которое учитывает возможную явную зависимость функции Лагранжа (и, как следствие этого, функции Гамильтона) от времени не имеет отношения к выводу самих уравнений Гамильтона, поскольку, как и в уравнениях Лагранжа, время в рассматриваемом аспекте играет роль параметра. Из (9) следует, что

(11)

Все сказанное выше непосредственно обобщается на систему с любым числом степеней свободы . В этом случае будем иметь:

(12)

(13)

, (14)

Рассмотрим несколько простых примеров.

1. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в декартовых координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

; ; (15)

b). Функция и уравнения Гамильтона. Т.к. , то

; , т.е.

(16)

Видим, что и те и другие уравнения фактически сводятся ко второму закону Ньютона.

2. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a). Функция и уравнения Лагранжа

;

(17)

b). Функция и уравнения Гамильтона

Сначала нужно записать функцию Гамильтона, т.е. выразить энергию системы

через обобщенные импульсы

; ; (18)

Отсюда выражаем обобщенные скорости через обобщенные импульсы:

; ; (19)

Подставляя это в формулу для энергии, получим выражение для функции Гамильтона:

(20)

Уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах

(21)

3. Записать уравнения Гамильтона для линейного гармонического осциллятора, когда и .

; (22)

; ; (23)

Получили обычное уравнение для линейного осциллятора.

4. Записать уравнения Гамильтона для математического маятника длиной , который совершает колебания в вертикальной плоскости. Ось направлена вниз, так, что . - угол отклонения от положения равновесия.

В цилиндрических координатах

; ;

; (24)

Уравнения Гамильтона

, (25)

т.е.

; (26)

Получили обычное уравнение колебания математического маятника.

Введем теперь понятие скобок Пуассона. Пусть имеется механическая система с одной степенью свободы: . Её обобщенные координата и импульс удовлетворяют уравнениям Гамильтона (10)

(27)

Пусть - некоторая функция величин , и времени . Составим её полную производную по времени, учитывая, что величины и тоже зависят от времени

(28)

Поскольку и , то выражение (28) принимает вид

(29)

Здесь введено обозначение

(30)

Выражение , определяемое формулой (30) называется скобкой Пуассона для величин и . Если число степеней свободы механической системы больше единицы, то скобка Пуассона функции Гамильтона и некоторой функции динамических переменных равна