Задача № 324. Найти частное решение дифференциального уравнение второго порядка с начальными условиями

(*)

 

РЕШЕНИЕ:

 

Так как в уравнение (*) не входит функция y, то понизим порядок уравнения, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных, входящих в уравнение, т.е. сделаем замену:   Тогда  и уравнение (*) принимает вид:

(**)

Решаем однородное уравнение:

Разделяем переменные и интегрируем:

Варьируем   С:   

(***)

Подставим   и    в (**) и определим

Для определения С₁ и С₂ используем начальные условия:

   

                    

ПРОВЕРКА:

(*):

ВЕРНО!

ОТВЕТ:

Задача № 344. Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям

(*)  

 

 

РЕШЕНИЕ:

 

Решаем однородное уравнение:   (**)

Ему соответствует характеристическое уравнение:

Решение однородного линейного уравнения (**) имеет вид:

 

 

Тогда решение исходного уравнения (*) ищем методом вариации постоянных в виде:

 

Функции  определяются из системы:

 

 

Находим:

 

 

 

Разрешаем уравнение (2):

 

(3)

 

 

Теперь из уравнения (1) находим:

Тогда решение исходного уравнения (*) имеет вид:

 

 

Для определения постоянных С₁ и С₂  используем начальные условия:

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, частное решение исходного уравнения (*) имеет вид

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4