2020-08-05
68
СОДЕРЖАНИЕ
Задача № 224. Вычислить частные производные первого и второго порядка от заданных функций_ 3
Задача № 244. Найти экстремум заданной функции_ 4
Задача № 264. Требуется: 1) Построить в плоскости ХОУ область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядке интегрирования. 6
Задача № 284. Криволинейный интеграл_ 8
Задача № 304. Найти общее решение дифференциального уравнение первого порядка_ 10
Задача № 324. Найти частное решение дифференциального уравнение второго порядка с начальными условиями_ 12
Задача № 344. Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям_ 14
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4_ 16
Задача № 364. Исследовать ряд на сходимость (а, б) и найти интервал сходимости (в) 16
Задача № 384. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 
путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда_ 19
Задача № 404. При указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд функции 
являющейся решением заданного дифференциального уравнения_ 21
Задача № 424. 22
Задача № 444. 23
Задача № 464_ 24
Задача № 484_ 25
Задача № 504_ 27
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА_ПРИКЛАДНААЯ МАТЕМАТИКА_ 28
Задача № 24_ 29
Задача № 224. Вычислить частные производные первого и второго порядка от заданных функций
(*) 
РЕШЕНИЕ:
Задача № 244. Найти экстремум заданной функции
(*)
РЕШЕНИЕ:
1. С помощью необходимого существования экстремума, т.е. из системы
найдем координаты стационарных (критических) точек:
Получили систему двух уравнений, которую решаем методом Гаусса с помощью MS Excel:
| A1*X1 | A2*X2 | A3*X3 | A4*X4 | B1 |
|
|
|
| A1 | A2 | A3 | A4 | B1 |
|
|
|
|
|
|
| |||||
| 4 | 1 | 0 | 0 | 7 |
|
| |
| 1 | -2 | 0 | 0 | -5 |
|
| |
|
|
| ||||||
| 1 | 0,25 | 0 | 0 | 1,75 |
|
| |
| 0 | -2,25 | 0 | 0 | -6,75 |
|
|
|
| 1 | 0,25 | 0 | 0 | 1,75 |
|
|
|
| 0 | 1 | 0 | 0 | 3 |
|
|
|
|
|
|
| |||||
| 1 | 0,25 | 0 | 0 | 1,75 |
| X1= | 1,00 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 3 |
| X2= | 3,00 |
2. Проверим выполнение достаточного условия существования экстремума в стационарной точке M0(0;0). Для этого составим
2. Решим вопрос о характере экстремума.
· если 
то точка M0 (x,y) будет точкой максимума, если A (M0) < 0 (или C (M0) < 0), и точкой минимума, если A (M0) > 0 (или C (M0) > 0);
· если 
то в точке М0 экстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума);
· если 
то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
В данном случае получили:
В точке М0 экстремума нет
Задача № 264. Требуется: 1) Построить в плоскости ХОУ область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядке интегрирования.
(*) 
РЕШЕНИЕ:
Строим область интегрирования D:
Область является правильной в направлении оси Oy (пересекается прямыми, проходящими через область D и параллельными оси Oy, только в двух точках) и ограничена линиями:
Тогда площадь области D может быть вычислена по формуле:
Так как область D – правильная, то двойной интеграл может вычислен двумя способами:
Чтобы вычислить интеграл, проходя область D в направлении оси OY, воспользуемся формулой
Чтобы вычислить интеграл, проходя область D в направлении оси OX, воспользуемся формулой
Тогда площадь области D может быть вычислена по формуле:
ОТВЕТ: S = 6 (ед.2)
(ПРОВЕРКА : в обоих случаях получили одинаковый результат – т.к. площадь одна и та же)
