Задача № 284. Криволинейный интеграл

   (*)   

РЕШЕНИЕ:

 

Построим линию, по которой надо вести интегрирование:

1) L − отрезок прямой ОС

 

Записываем уравнение прямой ОС как уравнение прямой, проходящей через точки О и С:

 

        

                                                                                                

 

   

 

Воспользуемся формулой

Находим:

 

2) L − дуга параболы

   

Воспользуемся формулой

Находим:

3) L −  ломаная ОАС

3) L −  ломаная ОВС

 

ПРОВЕРКА: 3) и 4) – одинаковый результат: J=90, т.к. криволинейный интеграл здесь не зависит здесь от пути интегрирования:

Задача № 304. Найти общее решение дифференциального уравнение первого порядка

(*)

 

РЕШЕНИЕ:

 

Решаем однородное уравнение:

Разделяем переменные и интегрируем:

Потенцируем:

Варьируем С: С=С(х):   (**)

Тогда

Подставим   и   в исходное уравнение и найдем С(х):

 

 

Интегрируем по частям: 

 

Положим     тогда

Применяя формулу интегрирования по частям, находим:

 

Таким образом, общее решение исходного уравнения (*) имеет вид (**):

 

 

ПРОВЕРКА:

 

(*)

 

(*)

 

ОТВЕТ: