Скалярное произведение векторов

2 3 4 5 6 7 8

Скалярное произведение двух векторов и – число равное , где – угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения

Теорема 1: Если и , тогда .

Следствие 1: .

Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов и называется такой вектор , для которого выполняются условия:

1. , где – угол между векторами и ;

2. и ;

3. Направление задается по правилу правой руки.

Свойства векторного произведения

Теорема 1: Если и , тогда векторное произведение определяется соотношением

Геометрический смысл векторного произведения – определение площади параллелограмма S, из которого можно найти площадь треугольника

Следствие 1: .

Направляющие косинусы

Пусть образует с координатными осями Ox, Oy, Oz углы , и соответственно, тогда , и называют направляющими косинусами

Вектор с координатами из направляющих косинусов – отнормированный вектор

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов , и называется число

Теорема 1: Если , и , тогда смешанное произведение векторов определяется как

Геометрический смысл смешанного произведения – определение объема параллелепипеда V и пирамиды

Свойства смешанного произведения

Признаки расположения векторов

Пусть , и не нулевые векторы, тогда

3. , и – компланарны

Правила проверки на линейную зависимость векторов

Два вектора линейно зависимы, если присутствует пропорциональность их координат: .

Три вектора линейно зависимы, если они компланарны: .

Четыре и более векторов в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.

Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости

Уравнение с угловым коэффициентом задает все не вертикальные прямые (рисунок 5). В данном уравнении коэффициент , который влияет на прямую следующим образом: – прямая возрастает, – прямая убывает, – прямая параллельная оси Ox.

Рисунок 5. Прямая, заданная уравнением с угловым коэффициентом.

Вертикальная прямая имеет уравнение и его невозможно получить из рассматриваемого уравнения.

Прямая, проходящая через точку и вектор нормали имеет уравнение . Построение такого вида прямой представлено на рисунке 6.

Рисунок 6. Прямая, проходящая через заданную точку и вектор нормали.

Для построения такого вида прямых задается дополнительная точка

и исходя из координат вектора выводится указанное уравнение.

Преобразовав уравнение прямой, проходящей через точку и вектор нормали, можно получить общее уравнение прямой вида , где A и B – координаты вектора нормали. Полученное уравнение задает все прямые, в том числе и вертикальные прямые.

Преобразовав уже общее уравнение прямой, будет получено уравнение в прямой в отрезках вида

Построение прямой такого вида представлено на рисунке 7.

Рисунок 7. Построение прямой, заданном в уравнении в отрезках.

Дальнейший анализ возможности задать прямую на плоскости приведет еще к двум видам уравнений. Первым из них является параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку и направляющий вектор

Из полученного уравнения вытекает каноническое уравнение прямой

Построение прямой по последним двум последним уравнениям представлены на рисунке 8.

Рисунок 8. Построение прямой, заданной точкой и направляющим вектором.

Помимо всех вышеуказанных способов существует еще способ задания прямой с помощью двух точек и

Пример прямой такого вида представлен на рисунке 9.

Рисунок 9. Прямая, заданная с помощью двух точек.

Помимо способов задания прямой на плоскости, следует определить признаки взаимного расположения прямых на плоскости. Если прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом, тогда тангенс угла между заданными прямыми , имеющими уравнения и будет равен

Исходя из этого уравнения, выделены признаки взаимного расположения прямых: при

– прямые параллельны и при – прямые перпендикулярны.

Рассматривая общие уравнения прямых, которые имеют вид и

получим косинус угла между прямыми равным

Аналогично предыдущему случаю, из этого уравнения вытекают признаки параллельности прямых, если и признак перпендикулярности, если . Угол также является углом между нормалями указанных прямых.