Плоскость в пространстве

       Пусть задана точка  и вектор нормали . С их помощью можно найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и вектор нормали. Данное уравнение имеет вид

Построение такого вида плоскости представлено на рисунке 10. Для построения выбирается произвольная точка , тогда полученный вектор

, из которого выводится рассматриваемое уравнение.

Рисунок 10. Плоскость, заданная с помощью точки и вектора нормали.

       Преобразовав предыдущее уравнение можно получить общее уравнение плоскости

Если , тогда уравнение плоскости примет вид  и задает плоскость параллельную Ox. Аналогично, если , тогда уравнение плоскости примет вид  соответственно и задают плоскости параллельные Oy и Oz соответственно. Если , тогда получим уравнение , которая задает плоскость, проходящую через начало координат.

       Дальнейшее преобразования общего уравнения плоскости при условии

, тогда получим уравнение плоскости в отрезках

В данном уравнении a, b и c – точки пересечения с соответствующими осями координат и не равны нулю. Построение плоскости такого вида представлено на рисунке 11.

Рисунок 11. Плоскость, заданная с помощью уравнения в отрезках.

       Помимо вышеуказанных способов задания плоскости в пространстве, также плоскость можно задать с помощью трех точек в пространстве , которые не лежат на одной прямой. Способ построения плоскости такого вида представлен на рисунке 12.

Рисунок 12. Плоскость, заданная с помощью трех точек.

Способ построения подразумевает введения четвертой точки , которая лежит в плоскости, также, как и заданные точки, что позволяет задать три компланарных вектора. Исходя из этого уравнение плоскости, заданной с помощью трех точек, имеет вид

       Помимо рассмотренных способов задания плоскости в пространстве, важным также является анализ взаимного расположения плоскостей в пространстве. Пусть заданы две плоскости в пространстве  и . Если угол между плоскостями равен , тогда угол между плоскостями также равен . Исходя из этого угол  вычисляется на основе координат векторов нормалей заданных плоскостей

Исходя из данного уравнения признаки расположения плоскостей в пространстве будут иметь вид:  – плоскости параллельны или  – плоскости перпендикулярны.

       Если задана плоскость  и точка  не лежащая на плоскости, тогда расстояние d от этой точки до плоскости равно