Вычисление неопределенных и определённых интегралов

ПРОИЗВОДЫЕ И ДИФФЕРИНЦИАЛЫ

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т. е.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Применение методов дифференциального исчисления для анализа функций

Функция f (х) называется возрастающей в не­котором интервале, если для любых двух чисел х1 и х2 из этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство f (х2) > f(х1). Если же из неравенства х2 > х1 следует нестрогое неравен­ство f (х2) f(х1), то функция называется неубывающей в этом интервале.

Функция f (х) называется убывающей в не­котором интервале, если для любых двух чисел х1 и х2 из этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство f (х2) < f(х1).Если же из неравенства х2 > х1 следует нестрогое неравенство f (х2) f(х1), то функция называется невозрастающей в этом интервале. Функции возрастающие и убывающие, а также функ­ции невозрастающие и неубывающие называются монотонными.

Теорема. Если во всех точках некоторого интервала первая производная f'(х) > 0, то функция f (х) в этом интервале воз­растает. Если же во всех точках некоторого интервала первая производная f'(х) < 0, то функция в этом интервале убывает.

Производные сложных функций.           

Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида

(f(g(x)))'=f'(g(x))⋅g'(x)

Правила интегрирования

Основные правила интегрирования

Постоянный множитель выносится за знак интеграла.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых.

В частности,

 

где k и b — числа.

Вычисление неопределенных и определённых интегралов.

Неопределённый интеграл- это совокупность всех первообразных функции f(x). В общем случае, нахождение неопределённого интеграла выглядит следующим образом:

,

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования. Неопределённый интеграл представляет собой, как бы, «пучок» первообразных, из-за наличия постоянной интегрирования.

Дифференциал- произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины.