Теоретические сведения к практическому занятию

Функция , определенная на интервале , называется первообразной для функции , определенной на том же интервале , если

Если  — первообразная для функции , то любая другая первообразная для функции  отличается от  на некоторое постоянное слагаемое, т. е.  где .

Неопределенным интегралом от функции  называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл:  где

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.

Таблица основных интегралов

1.                            2.

3.             

4.                                        5.

6.                                         7.

8.                              9.

10.                               11.

12.   12а.

13.                        14.                    

15.                                 16.                    

17.                          18.

Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.

Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы (результат интегрирования проверить дифференцированием):

 

Решение.

Проверка:

19

Проверка:

Самостоятельная работа:

Задание 1. Выполните доклад на тему «История возникновения и развития интегралов»

Задание 2. Вычислить интегралы.

1)     

2)

3)

4)             

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Дайте определение первообразной функции.

2) Дайте определение неопределенного интеграла функции.

3) Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла. Приведите примеры.

4) Как называется операция нахождения первообразной функции?

5) Приведите таблицу основных интегралов функций.

Б. Выполнить задания:

Задание 1. Вычислить интегралы.

1)      

2)

3)    

4)           

Задание 2. Вычислить интегралы.

1)     

2)

 

21
Тема: Методы интегрирования

Цель: сформировать умение вычислять неопределенные интегралы, используя различные методы интегрирования.

Теоретические сведения к практическому занятию:

Функция , определенная на интервале , называется первообразной для функции , определенной на том же интервале , если

Неопределенным интегралом от функции  называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл:  где

Вычисление интегралов с использованием таблицы интегралов и основных свойств называют непосредственным интегрированием.

 

Метод замены переменной

Теорема 1. Пусть монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда

                                     (1)

При этом, если  то  где — функция, обратная .

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм замены переменной:

1) Связать старую переменную интегрирования  с новой переменной  с помощью замены .

2) Найти связь между дифференциалами .

3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.

4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив

Пример 1. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.

 

Решение:

Интегрирование по частям.
Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям

Если производные функций  и  непрерывны, то справедлива формула:

                                         (3)

называемая формулой интегрирования по частям.

В качестве   обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.

Некоторые стандартные случаи функций, интегрируемых по частям, указаны в таблице 1. Там же дается способ выбора множителей  и .

Таблица 1

Вид интеграла

 

Вид интеграла

— многочлен от  степени , т. е. , где .

Пример 2. Проинтегрировать по частям.

Решение.

Самостоятельная работа:

Задание 1. Проинтегрировать подходящей заменой переменного.

1)                            

2)                                            

Задание 2. Проинтегрировать по частям.

1)    

2)            

3)  

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Дайте определение интеграла функции.

2) Как называется метод интегрирования, при котором пользуются основными свойствами и таблицей интегралов? Приведите примеры.

3) Опишите алгоритм замены переменной при вычислении неопределенных интегралов. Приведите примеры.

4) Какая формула используется при интегрировании по частям. Приведите примеры этого метода.

Б. Выполнить задания:

Задание 1. Проинтегрировать подходящей заменой переменного.

1)                             

2)                     

3)                      

4)          

Задание 2. Проинтегрировать по частям.

1)                 

2)               

3)