Тема: Применение определенного интеграла для вычисления площадей фигур

Цель: сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления площадей фигур

Теоретические сведения к практическому занятию:

Площади плоских фигур

1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями , где  для всех , и прямыми , , то ее площадь вычисляется по формуле:

                                      (*)

Рис. 1	Рис. 2

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:

x	0	1	–1	2	–2	3	–3	4	–4
y	–2	–1	–1	2	2	7	7	14	14

Для построения прямой достаточно двух точек, например  и .

Найдем координаты точек  и  пересечения параболы  и прямой .

Для этого решим систему уравнений

Тогда  Итак,

Площадь полученной фигуры найдем по формуле (*), в которой

 поскольку  для всех . Получим:

2. Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями, заданными параметрически

Если функции  и  имеют непрерывные производные первого порядка для всех , то площадь плоской фигуры, ограниченной линией  прямыми x = a, x = b, где a = x (t ₀),

b = x (t ₁), и осью OX, вычисляется по формуле:

                                        (**)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически:

Решение. Для построения фигуры составим таблицу значений координат (x, y) точек кривой, соответствующих различным значениям параметра

t	0
x	2	0	–2	0	2
y	0	3	0	–3	0

Рис. 3

Нанесем точки (x, y) на координатную плоскость XOY и соединим плавной линией. Когда параметр изменяется от  до , соответствующая точка  описывает эллипс (известно, что  — параметрические формулы, задающие эллипс с полуосями a и b). Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей OX и OY, найдем её площадь S, умножив на 4 площадь криволинейной трапеции AOB. Согласно формуле (9) получим:

 

29

Самостоятельная работа:

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически.

1)

2)

Задание 2. Составьте кроссворд по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление» (10-15 вопросов)

Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

1)

2)

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Назовите формулу, которая используется для вычисления площадей фигур в декартовой системе координат.

2) Назовите формулу, которая используется для вычисления площадей фигур, ограниченных линиями, заданными параметрически.

3) Приведите примеры нахождения площадей фигур с использованием определенного интеграла.

Б. Выполнить задания:

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

1)

2)

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически.

1)

2)