Тема: Матрицы и действия с ними

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами

Теоретические сведения к практическому занятию:

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

.

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись «матрица B имеет размер m x n» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица  имеет размер 2 x 3. Далее, b_ij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i -й строки и j- го столбца данной матрицы (в примере b₂₃=5).

При ссылке на i-ю строку матрицы A используют обозначение A_i, при ссылке на j-й столбец – обозначение A^j.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a₁₁, a₂₂ ,…,  a_nn   квадратной матрицы A (размера n x n) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3 x 3

, , ,

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Арифметические действия с матрицами.

Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

 

.

 

33

Пример 1. Найти 2A-B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Имеем:

Произведение AB можно определить только для матриц A размера m x n и B размера n x p, при этом AB=C, матрица C имеет размер m x p, и ее элемент c_ij находится как скалярное произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B:  (i=1,2,…,m; j=1,2,…,p). Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева)умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).

Пример 2. Найти произведение матриц  и .

Решение. Размер матрицы A 3 x 2, матрицы В 2 х 2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Матрицей, транспонированной к матрице A размера m x n, называется матрица A^T размера n x m, строки которой являются столбцами исходной матрицы.

Например, если , то .

Пример 3. Найти .

Решение. Воспользовавшись вычислениями, проведенными при решении примера, а также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

.

Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.

Рангом матрицы A в дальнейшем будем считать число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы, используя обозначение  r(A). Так, в рассмотренном выше примере 3.4 r(A)=3, r(B)=2. Можно доказать, что ранг матрицы A (размера m x n) не может быть больше  (например, для матрицы А размера 2 x 3 ). Кроме того, ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни от проводимых преобразований. Это свойство можно использовать при проверке. Так, в примере 3.4 после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b₁₂, а затем вычеркнуть третью строку, пропорциональную второй ():

Самостоятельная работа:

Задание 1. Выполнить арифметические действия с матрицами:

1) ;                         2) ;

3) ;             4) ;

5)  ;

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Дайте определение матрицы. Приведите примеры.

2) Какая матрица называется квадратной? Приведите примеры.

3) Назовите основные арифметические действия над матрицами. Приведите примеры.

4) Какая матрица называется транспонированной к данной матрице? Приведите примеры.

5) Какие матрицы называются равными?

Б. Выполнить задания:

35

Задание 1. Выполнить арифметические действия с матрицами:

1) ;                            2) ;

3) ;             4) ;

5)  ; 

Задание 2. Выполнить арифметические действия с матрицами:

1) ;        

2) ;

3)