2020-09-24
155
Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.
Теоретические сведения к практическому занятию:
Комплексное число – это выражение вида
, (1.1)
где x, y – вещественные числа, а 
– мнимая единица. Первое из вещественных чисел, x, называется вещественной (действительной) частью комплексного числа (используется обозначение 
); второе, y, - мнимой частью (
). Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.
Числом, сопряженным к , называют число вида 
. Используя формулу разности квадратов, получаем, что 
. Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение. Дискриминант данного уравнения: 
меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:
, т.е. 
; 
.
Справедливы следующие правила арифметических действий над комплексными числами 
и 
:
1) 
(осуществляется сложение или вычитание алгебраических двучленов и приведение подобных);
2) 
(осуществляется перемножение алгебраических двучленов и приведение подобных с учетом того, что 
);
3) 
(эта операция возможна только в случае, когда 
).
Пример 2. Вычислить 
и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.
Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:
;
поэтому 
, 
.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа 
, а на оси OY – чисто мнимые числа 
).
Модулем комплексного числа назовем длину отрезка 
(или расстояние от начала координат до точки M), т.е. 
. Аргументом комплексного числа (
) назовем угол, который вектор 
образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию 
. При этом выражение вида
(1.2)
называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Преобразуем (1.1)
и, сравнивая с (1.2), получаем, что аргумент z можно найти, решив систему
или 
(1.3.)
Пример 3. Записать комплексное число в тригонометрической форме 
, указать модуль и аргумент комплексного числа.
Решение. По определению 
. Для определения аргумента воспользуемся формулой: 
. Получаем, что 
. Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: 
.
Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой , то справедлива формула Муавра
. (1.4)
Для извлечения корня n -й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:
, k=0,1,…,n-1. (1.5)
Самостоятельная работа:
Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
1) 
2) 
3) 
4) 
Задание 2. Найти все корни уравнений:
1) 
; 2) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
7) 
Содержание практического занятия:
А. Ответить на вопросы:
1) Дайте определение комплексного числа. Приведите примеры.
2) Как называется каждая из частей комплексного числа? Приведите примеры.
3) Какое число называется числом, сопряженным к комплексному числу? Приведите примеры.
4) Назовите основные арифметические действия над комплексными числами. Приведите примеры.
Б. Выполнить задания:
Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
1) 
2) 
3) 
Задание 2. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
1) 2) 3) 
4) 
