Тождественные преобразования

• Оперировать понятиями: степень с натуральным показателем, сте­пень с целым отрицательным показателем;

• выполнять несложные преобразования для вычисления значений числовых выражений, содержащих степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;

• выполнять преобразования целых выражений: раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые; выполнять действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение), действия с многочленами (сло­жение, вычитание, умножение);

• использовать формулы сокращённого умножения (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов) для упрощения вычислений зна­чений выражений;

• выполнять разложение многочленов на множители одним из спо­собов: вынесение за скобку, группировка, использование формул сокра­щённого умножения;

• выделять квадрат суммы и квадрат разности одночленов;

• раскладывать на множители квадратный трёхчлен;

• выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым отрицательным показателем, переходить от записи в виде степени с целым отрицательным показателем к записи в виде дроби;

• выполнять несложные преобразования дробно-линейных выраже­ний и выражений с квадратными корнями, а также сокращение дро­бей, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сло­жение, умножение, деление алгебраических дробей, возведение алге­браической дроби в натуральную и целую отрицательную степени;

• выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни;

• выделять квадрат суммы или квадрат разности двучлена в вы­ражениях, содержащих квадратные корни;

• выполнять преобразования выражений, содержащих модуль.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• понимать смысл записи числа в стандартном виде;

• оперировать на базовом уровне понятием «стандартная запись числа»;

• выполнять преобразования и действия с числами, записанными в стандартном виде;

• выполнять преобразования алгебраических выражений при реше­нии задач других учебных предметов.

Уравнения и неравенства

• Оперировать понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение, числовое неравенство, неравенство, корень уравнения, решение уравне­ния, решение неравенства, равносильные уравнения, область определе­ния уравнения (неравенства, системы уравнений или неравенств);

• проверять справедливость числовых равенств и неравенств;

• решать линейные неравенства и несложные неравенства, сводящи­еся к линейным;

• решать линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным, с помощью тождественных преобразований;

• проверять, является ли данное число решением уравнения (нера­венства);

• решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного урав­нения;

• решать квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ква­дратным, с помощью тождественных преобразований;

• решать системы несложных линейных уравнений, неравенств;

• изображать решения неравенств и их систем на числовой прямой;

• решать дробно-линейные уравнения;

• решать простейшие иррациональные уравнения виДа              (х) = а,

4/ (х) = 4д (х);

• решать уравнения виДа х^п = а;

• решать уравнения способом разложения на множители и спосо­бом замены переменной;

• использовать метоД интервалов Для решения целых и Дробно-ра­циональных неравенств;

• решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;

• решать несложные кваДратные уравнения с параметром;

• решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;

• решать несложные уравнения в целых числах.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• составлять и решать линейные уравнения и кваДратные уравнения, уравнения, к ним своДящиеся, системы линейных уравнений, нера­венств при решении задач из других учебных предметов;

• выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении линейных и квадратных уравнений и систем линейных урав­нений и неравенств при решении задач других учебных предметов;

• выбирать соответствующие уравнения, неравенства или их си­стемы для составления математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;

• уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи.

Функции

• Оперировать понятиями: функциональная зависимость, функция, график функции, способы задания функции, аргумент и значение функ­ции, область определения и множество значений функции, нули функ­ции, промежутки знакопостоянства, монотонность функции, чёт- ность/нечётность функции;

• находить значение функции по заданному значению аргумента;

• находить значение аргумента по заданному значению функции в не­сложных ситуациях;

• определять положение точки по её координатам, координаты точки по её положению на координатной плоскости;

• по графику находить область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции;

• строить график линейной функции;

• проверять, является ли данный график графиком заданной функции (линейной, квадратичной, обратной пропорциональности);

• определять приближённые значения координат точки пересечения графиков функций;

• строить графики линейной, квадратичной функций, обратной про­порциональности, функций виДа у = а + —^к—, у = у[х, у = ^х, у = |х|;

х + Ь

• на примере квадратичной функции использовать преобразова­ния графика функции у = / (х) Для построения графика функции у = af(кх + Ь) + с;

• составлять уравнение прямой по заДанным условиям: прохоДящей через Две точки с заДанными коорДинатами, прохоДящей через Дан­ную точку и параллельной Данной прямой;

• исслеДовать функцию по её графику;

• нахоДить множество значений, нули, промежутки знакопосто- янства, монотонности кваДратичной функции;

• оперировать на базовом уровне понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия;

• решать простые задачи на прогрессии, в которых ответ может быть получен непосредственным подсчётом без применения формул;

• решать заДачи на арифметическую и геометрическую прогрес­сию.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать графики реальных процессов и зависимостей для определения их свойств (наибольшие и наименьшие значения, проме­жутки возрастания и убывания, области положительных и отрицательных значений и т. п.);

• использовать свойства линейной функции и её график при реше­нии задач из других учебных предметов;

• иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их характеристикам;

• использовать свойства и график квадратичной функции при ре­шении задач из других учебных предметов.

Текстовые задачи

• Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифме­тические действия;

• решать простые и сложные задачи разных типов, а также за­дачи повышенной трудности;

• строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка), в которой даны значения двух из трёх взаимосвязанных величин, с це­лью поиска решения задачи; использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач;

• различать модель текста и модель решения задачи, конструи­ровать к одной модели решения несложной задачи разные модели текста задачи;

• осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассужде­ние строится от условия к требованию или от требования к условию; знать и применять оба способа поиска решения задач (от требова­ния к условию и от условия к требованию);

• решать несложные логические задачи методом рассуждений, моде­лировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф- схемы;

• решать логические задачи разными способами, в том числе с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;

• составлять план решения задачи; выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;

• уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осозна­вать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;

• анализировать затруднения при решении задач;

• выполнять различные преобразования предложенной задачи, кон­струировать новые задачи из данной, в том числе обратные;

• интерпретировать вычислительные результаты в задаче, иссле­довать полученное решение задачи;

• анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном дви­жении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение 10

двух объектов как в одном направлении, так и в противоположных направлениях;

• знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки; исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчёта;

• решать задачи на нахождение части числа и числа по его части, ре­шать разнообразные задачи «на части»;

• решать и обосновывать своё решение задач (выделять матема­тическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;

• находить процент от числа, число по его проценту, процентное от­ношение двух чисел, процентное снижение или процентное повышение величины;

• решать задачи на проценты, в том числе сложные проценты с обоснованием, используя разные способы;

• решать, осознавать и объяснять идентичность задач разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три величины, вы­делять эти величины и отношения между ними, применять их при ре­шении задач, конструировать собственные задачи указанных типов;

• владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;

• решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на ос­нове использования изученных методов и обосновывать решение;

• решать несложные задачи по математической статистике;

• овладевать основными методами решения сюжетных задач: ариф­метическим, алгебраическим, перебора вариантов, геометрическим, гра­фическим, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых величин в задаче (делать прикидку);

• выделять при решении задач характеристики рассмат риваемой в задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстра­гировались), конструировать новые ситуации с учётом этих харак­теристик, в частности, при решении задач на концентрации учиты­вать плотность вещества;

• решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реаль­ных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный ре­зультат.