Теоремы Лапласа и аннулирования

 

Рассмотрим еще два очень важных свойства определителей.

Введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из исходного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Обозначают минор элемента  через .

Пример.  = .

 

Тогда, например, = , = .

Алгебраическим дополнением элемента определителя  называется его минор , взятый со знаком . Алгебраическое дополнение будем обозначать , то есть = .

Например:

= , = = = – ,

 

= = = .

Вернемся к формуле (2). Группируя элементы и вынося за скобки общий множитель, получим:

 

= ( – ) + (  – ) + ( – )=

 

= ּ + ּ + ּ =

= + + .

 

Аналогично доказываются равенства:

= + + , 1, 2, 3;                      (3)

 

= + + , 1, 2, 3.

Формулы (3) называются формулами разложения определителя по элементам i-ой строки (j-го столбца), или формулами Лапласа для определителя третьего порядка.

Таким образом, мы получаем восьмое свойство определителя:

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме всех произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца).

Заметим, что данное свойство определителя есть не что иное, как определение определителя любого порядка. На практике его используют для вычисления определителя любого порядка. Как правило, прежде чем вычислять определитель, используя свойства 1 – 7, добиваются того, если это возможно, чтобы в какой-либо строке (столбце) были равны нулю все элементы, кроме одного, а затем раскладывают по элементам строки (столбца).

Пример. Вычислить определитель

 

= = (из второй строки вычтем первую) =

= = (из третьей строки вычтем первую)=

= = (разложим определитель по элементам третьей

строки) = 1ּ  = (из второго столбца вычтем первый столбец) =  = 1998ּ0 – 1ּ2 = –2.

Пример.

Рассмотрим определитель четвертого порядка. Для его вычисления воспользуемся теоремой Лапласа, то есть разложением по элементам строки (столбца).

 

= = (так как второй столбец содержит три нулевых элемента, то разложим определитель по элементам второго столбца)= =3ּ = (из второй строки вычтем первую, умноженную на 3, а из третьей строки вычтем первую, умноженную на 2) =

= 3ּ = (разложим определитель по элементам первого столбца) = 3ּ1ּ  =

Девятое свойство определителяносит название теорема аннулирования: