2020-09-24
95
Пусть А – квадратная матрица порядка n:
А= 
.
Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое
= det A= Δ= 
.
Отметим, что определитель существует только для квадратных матриц.
Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно.
Определителем второго порядка матрицы 
называется число, определяемое по правилу:
= 
= 
– 
, (1)
т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.
Пример.
= 
, тогда = 
= 4 · 3 – (–1) · 2=12 + 2 = 14.
Следует помнить, что для обозначения матриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя – вертикальные линии. Матрица – это таблица чисел, а определитель – число.
Из определения определителя второго порядка следуют его свойства:
1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:
= 
.
2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:
= – 
, = – 
.
3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:
= 
или 
= .
4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:
=0, 
= 0.
6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:
= 
+ 
, 
= + 
.
7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число 
:
= 
+ 
= ,
так как 
=0 по свойству 5.
Остальные свойства определителей рассмотрим ниже.
Введем понятие определителя третьего порядка: определителем третьегопорядка квадратной матрицы называется число
Δ = 
= det A= 
=
= 
+ 
+ 
– – – ,
(2)
т. е. каждое слагаемое в формуле (2) представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения в формуле (2) брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников (правило Саррюса):
 |
Пример. Вычислить определитель
= 
=
= 
=
= 
.
Следует отметить, что свойства определителя второго порядка, рассмотренные выше, без изменений переносятся на случай определителей любого порядка, в том числе и третьего.
