Тема 1.4. Формулы полной вероятности и Байеса

Теория вероятности, МЗР-2

 

Содержание дисциплины

 

РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ (III СЕМЕСТР)

 

Тема 1.1. Основные понятия. Пространство элементарных событий.

Предмет теории вероятностей. Значение статистических методов. Статистический подход к описанию случайных явлений. Основные понятия: пространство элементарных событий, частота события, достоверные, невозможные и случайные события. Операции над событиями

 

Литература:

Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – С. 16 – 20.

Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 9-е изд., стеор. – М.: Высшее образование, 2004. – С. 8.

Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. – М.: Наука, 1969. – С. 16 – 20.

Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов/ Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2002. – С. 16 – 18.

 

Задачи для самостоятельного решения:

1.1. На предстоящих выборах губернатором Н-ской области может быть избран представитель партии левых, представитель партии правых, представитель партии зелёных или не избран никто. Событие А состоит в том, что будет избран представитель партии левых. Событие В состоит в том, что будет избран представитель партии правых или представитель партии зелёных.

Опишите события 1) А˅В; 2) А˄В; 3) ; 4) А\В; 5) А\(А˄В).

 

Тема 1.2. Определение вероятности события. Непосредственное вычисления вероятностей.

Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности. Понятие об аксиоматическом определении вероятности. Основные комбинаторные объекты: перестановки, размещения, сочетания, разбиения. Использование методов комбинаторики в теории вероятностей.

 

Литература:

Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – С. 20 – 29.

Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 9-е изд., стеор. – М.: Высшее образование, 2004. – С. 8 – 12.

Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. – М.: Наука, 1969. – С. 20 – 29.

Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов/ Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2002. – С. 18 – 20, 24 – 28.

 

Задачи для самостоятельного решения:

1.2. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбивает момент своего прихода в промежутке от 12 до 13 часов.

 

Тема 1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Алгебра событий. Применение алгебры событий к расчету классической вероятности. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

 

Литература:

Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – С. 27 – 37.

Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 9-е изд., стеор. – М.: Высшее образование, 2004. – С. 12 – 18.

Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. – М.: Наука, 1969. – С. 38 – 45.

Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов/ Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2002. – С. 22 – 24, 34 – 36.

 

Задачи для самостоятельного решения:

1.3. Три стрелка стреляют в мишень. Каждый попадает в мишень или не попадает в мишень независимо от результатов выстрелов остальных стрелков. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена?

 

Тема 1.4. Формулы полной вероятности и Байеса.

Зависимые события. Независимые события. Вероятность наступления хотя бы одного независимого события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

 

Литература:

Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – С. 37 – 55.

Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 9-е изд., стеор. – М.: Высшее образование, 2004. – С. 29 – 37.

Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. – М.: Наука, 1969. – С. 45 – 49.

Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов/ Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2002. – С. 22 – 24, 38 – 56.

 

Задачи для самостоятельного решения:

1.4. Для проверки усвоения лекционного материала в студенческой группе был случайным образом выбран студент, и ему был предложен тест по теме лекции. В этой студенческой группе 6 отличников, 7 хороших студентов и три средних студента (по результатам прошедшей сессии). Было известно, что отличник справляется с тестом с вероятностью 0,85, хороший студент справляется с тестом с вероятностью 0,6, а средний студент справляется с тестом с вероятностью 0,3.

а) вычислить априорную вероятность того, что был протестирован хороший студент;

в) вычислить вероятность того, что студент не справился с тестом;

с) вычислить вероятность того, что был выбран хороший студент, если известно, что студент с тестом не справился.