Интегрирование правильных дробей

Рассмотрим правильную дробь , где  – многочлен степени n. Будем считать, что старший коэффициент в  равен единице. В курсе алгебры доказывается, что такой многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:

,

где  - действительные корни многочлена , а квадратные трёхчлены не имеют действительных корней. Можно доказать, что тогда  представляется в виде суммы простейших дробей I-IV:

,

где показатели у знаменателей последовательно уменьшаются от  до 1, , от  до 1, от  до 1, , от  до 1, а , ,  - неопределённые коэффициенты.

 

Методы нахождения неопределённых коэффициентов

1) Метод частных значений:

Тогда .

Придаём x переменной определённые значения (корни знаменателя) и находим коэффициенты A и B:

: ,

: ,

В качестве частных значений берём корни знаменателя, получаем:

2) Метод сравнения коэффициентов:

Получаем .

Даём x значение, равное действительному корню знаменателя:

: ,

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

при : .

при : .

Получаем

 

Тема 12. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ