2020-09-24
194
Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определённый интеграл – одно из основных понятий математического анализа. С его помощью вычисляются площади, длины дуг, объёмы, работа, скорость и т.д.
Пусть на отрезке 
задана непрерывная функция 
. Обозначим через 
и 
её наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.
Разобьём отрезок на 
частей точками деления
,
причём 
.
Положим 
, 
,..., 
.
Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции :
на отрезке 
через 
и 
;
на отрезке 
через 
и 
;
на отрезке 
через 
и 
;
на отрезке 
через 
и 
.
Составим суммы:
, (1)
. (2)
Сумма 
называется нижней интегральной суммой, а сумма 
называется верхней интегральной суммой.
Если 
, то нижняя интегральная сумма численно равняется площади «вписанной ступенчатой фигуры», а верхняя интегральная сумма численно равняется площади «описанной ступенчатой фигуры».
Свойства верхних и нижних интегральных сумм.
1. Так как 
, где 
, то 
(на основании формул (1) и (2)).
2. Так как 
, 
, 
, 
, где – наименьшее значение на , то
.
Таким образом, 
.
3. 
, где - наибольшее значение на .
Доказательство: Так как 
, 
, , 
, то
.
Таким образом, .
Из свойств 2 и 3 следует
.
