Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определённый интеграл – одно из основных понятий математического анализа. С его помощью вычисляются площади, длины дуг, объёмы, работа, скорость и т.д.
Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Обозначим через и её наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.
Разобьём отрезок на частей точками деления
,
причём .
Положим , ,..., .
Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции :
на отрезке через и ;
на отрезке через и ;
на отрезке через и ;
на отрезке через и .
Составим суммы:
, (1)
. (2)
Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма называется верхней интегральной суммой.
Если , то нижняя интегральная сумма численно равняется площади «вписанной ступенчатой фигуры», а верхняя интегральная сумма численно равняется площади «описанной ступенчатой фигуры».
Свойства верхних и нижних интегральных сумм.
|
|
1. Так как , где , то (на основании формул (1) и (2)).
2. Так как , , , , где – наименьшее значение на , то
.
Таким образом, .
3. , где - наибольшее значение на .
Доказательство: Так как , , , , то
.
Таким образом, .
Из свойств 2 и 3 следует
.