Алгебра древних египтян

Часть задач в древнеегипетских математических папирусах сводится к решению линейного уравнения с одним неизвестным. Неизвестное обозначалось специальным иероглифом, означавшим «кучу» (хау). По сути это аналог множества с неопределенным числом элементов. Поэтому алгебра древних египтян называется «исчислением кучи» или «хау-исчислением».

В папирусе Райнда 15 такого рода задач, в Московском папирусе – 3. Пример. Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10.

Ответ: 9.

Особенность этой задачи состоит в том. Что здесь мы имеем дело не с практической, а с чисто математической задачей с отвлеченными числами, что нехарактерно для текстов древних цивилизаций. Конечно, и способы ее решения не совпадают с современными. Древние математики чаще всего пользовались методом «ложного положения». Не вникая в его тонкости, заметим, что он сводится к приданию искомому числу «ложного» (относительно произвольного) значения, находили искомое с помощью пропорций.

Наибольший интерес с алгебраической точки зрения вызывает задача 79 из папируса Райнда.

Задача. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?

Ответ: геометрическая прогрессия из пяти членов с первым членом 7 и знаменателем 7. 19 607.

Чем же она интересна? Во-первых, это задача на геометрическую прогрессию, то есть чисто алгебраическая задача. Надо сказать, что во многих математических культурах Древних цивилизаций присутствуют такого рода задачи. Это связано, скорее всего, что человечеству необходимо было решать задачи, связанные с размножением (количество овец в стаде через какое-то время, урожай зерновых и т.п.) Во-вторых, это задача тоже чисто математическая, лишь облаченная в практическую форму. В-третьих, мы ееназываем «задачей-путешественницей», так как она в близких редакциях содержится в старинных математических книгах.

Примеры. 1. Леонардо Пизанский, «Книга абака», XIII в. Задача. 7 старух направляются в Рим. У каждой старухи по 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, при каждом из которых по семи ножей, каждый из которых в 7 ножнах.

Сколько всего предметов?

2. Средневековые русские рукописи.

Задача. Идет 7 баб. У всякой бабы по 7 посохов, на всяком посохе по 7 сучков, на всяком сучке по 7 кошелей, во всяком кошеле по 7 пирогов, во всяком пироге по 7 воробов, во всяком воробе по 7 пупков. И всего?_