Геометрия страны пирамид

Многие задачи древнеегипетских папирусов геометрические. Это закономерно, так как математика в Древнем Египте возникла во многом из-за своенравного поведения Нила, который размывал границы земельных участков и их приходилось восстанавливать заново. Древним египтянам были известны «формулы» площади прямоугольника, треугольника, трапеции, круга с вполне приличным 3,1605.

Самый замечательный результат древнеегипетской геометрии – «формула» объема усеченной пирамиды с квадратными основаниями. Она не имеет аналогов в математике древних и является одной из загадок великой египетской цивилизации.

Покажем на этом примере, что значит «формула» в древнеегипетской и других древних математиках.

Фрагмент Московского папируса с решением задачи	Соответствующий русский текст	Методика обучения решению задачи
	Если тебе называют усеченную пирамиду 6 локтей в высоту, 4 (локтей) в нижней стороне, 2 в верхней стороне, вычисляй с этой 4, возводя ее в квадрат. Получается 16. Удвой 4; получается 8. Вычисляй с этой 2, возведя ее в квадрат; получается 4. Сложи эти 16 с этими 8 и с этими 4; получается 28. Вычисли 3 от 6; получается 2. Вычисли 28 2 раза; получается 56. Смотри: она есть 56. Ты нашел правильно!	Условие: Если тебе называют усеченную пирамиду 6 локтей в высоту, 4 (локтей) в нижней стороне, 2 в верхней стороне. Алгоритм 1. Вычисляй с этой 4, возводя ее в квадрат. Получается 16. 2. Удвой 4; получается 8. 3. Вычисляй с этой 2, возведя ее в квадрат; получается 4. 4. Сложи эти 16 с этими 8 и с этими 4; получается 28. 5. Вычисли 3 от 6; получается 2. 6. Вычисли 28 2 раза, получается 56. Ответ. Смотри: она есть 56. Метод стимулирования. Ты нашел правильно!

Если сравнить алгоритм решения задачи с современной формулой , то он полностью с ней совпадает. Задача решена верно.

Таким образом, мы убедились в том, что древние египтяне пользовались верными приемами вычисления площадей и объемов, записывая «формулы» словесно, без использования символики.

Поразительно, но при довольно примитивной и громоздкой арифметике египтяне смогли добиться значительных успехов в геометрии. Поэтому третьим фактом, заинтересовавшим нас в математике Древнего Египта стала геометрия. При анализе источников мы выяснили, что Египтяне умели точно находить площадь поля прямоугольной, треугольной и даже трапециевидной формы. Хотим отметить, что в середине I тысячелетия до н. э. для построения прямого угла египтяне использовали веревку, разделенную узлами на 12 равных частей. Концы веревки связывали и натягивали её на три колышка, чтобы на каждой из трех сторон было 3, 4 и 5 узлов соответственно, тогда между сторонами с 3 и 4 узлами возникал прямой угол. Однако, используя данные литературных источников, мы выяснили, что треугольник, полученный данным образом - это единственный прямоугольный треугольник, который был известен в Древнем Египте. Еще одним интересным фактом будем считать то, что в папирусах нет задач, как-либо связанных с теоремой Пифагора, хотя до расшифровки математических текстов существовало мнение, что древние египтяне были с ней знакомы.

 Еще одним важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа π, которое получается из формулы для площади круга диаметра d (площадь круга равна площади квадрата, сторона которого составляет 8/9 диаметра):

Этому правилу из 50-й задачи папируса Райнда соответствует значение π = 3,1605. Однако, каким образом египтяне получили саму формулу, из доступных источников доподлинно нам не удалось выяснить.

В нашей работе хотим особенно отметить тот факт, что древние египтяне использовали не только геометрию на плоскости, но так же и работали с пространственными телами – многогранниками. Одним из них, по нашему мнению, самым «египетским» можно считать пирамиду, так как именно такую форму имеют знаменитые усыпальницы фараонов, о которых мы будем говорить в следующем пункте. Однако заметим, что, кроме объема куба, параллелепипеда, призмы и цилиндра египтяне умели вычислять объем усеченной пирамиды, в основаниях которой лежат квадраты со сторонами a и b, а высота равна h. Они применяли специальную формулу. Эту формулу принято считать высшим достижением древнеегипетской математики.

Общеизвестно, что у жителей Египта был развит культ мертвых. Египтяне верили, что душа когда-нибудь вернется к умершему, поэтому его тело необходимо сохранить, забальзамировав и поместив в надежную гробницу. Самые величественные гробницы для правителей Египта - фараонов - строились в виде гигантских пирамид из каменных блоков. Они считались символом вечности, поэтому египтяне с гордостью говорили: «Все подвластно времени, но само время боится пирамид». Жившие в Египте тысячи лет до нашей эры фараоны Хуфу, Хафра и Менкаур считаются строителями самых знаменитых пирамид в Гизе(см. Приложение Рисунок 3. Пирамиды в Гизе). Интересным историческим фактом, по нашему мнению, является то, что ни в одном из доступных нам источников нет информации, подтверждающей захоронение этих фараонов в пирамидах, а так же в них ни одна археологическая экспедиция не находила мумий.

До сих пор необъяснимо и то, как могли сохраниться эти сооружения в течение даже не веков, а тысячелетий: большинство строений древнейших цивилизаций давно разрушено, их приходится раскапывать и восстанавливать, а с пирамид лишь обвалилась облицовка, и они являют собой воплощение прошедшей эпохи. Анализируя доступные источники, мы выяснили, что остатки облицовки пирамид исследовал известный археолог XIX века Флиндэс Петри. При этом подчеркивается, что он был ошеломлен, обнаружив, что размеры плит выдержаны с точностью до 2мм, причем стыки подогнаны так, что в них нельзя просунуть лезвие перочинного ножа, что еще раз говорит о практическом применении математики в строительстве. В 1881 году Ф. Петри писал в своей статье: «Даже просто уложить плиты с такой точностью - достижение, но сделать это с цементной связкой- вещь почти невозможная». Средняя ширина зазора составляет 0,5 мм – точность, сравнимая с точностью большинства современных оптических систем. Отметим, что с тыковка облицовочных плит- не единственная особенность великих пирамид. Здесь и точная ориентация по сторонам света, и практически идеальные прямые углы, о которых уже говорилось выше, и невероятная симметрия 4 огромных пирамид. Но самая большая загадка, над которой ученые бьются и по сей день – кто же поднял миллионы блоков на высоту в десятки метров?

Заключение

Итак, о содержании математики Древнего Египта мы судим по сохранившимся письменным источникам – математическим папирусам, содержащим задачи и алгоритмы их решений, которые часто иллюстрируются чертежами.

Система счисления древних египтян – иероглифическая, десятичная, непозиционная, без нуля. Непозиционность и отсутствие нуля позволяет оценивать ее как не самую эффективную из систем счисления древних. Тем не менее, она позволяла производить арифметические действия над натуральными числами и обыкновенными дробями и иметь достаточно точные приближения чисел.

Древнеегипетская арифметика достаточно тяжеловесна в силу того, что любую дробь следовало представить в виде суммы основных, в число которых входят 2/3, ¾ и аликвотные дроби, то есть дроби вида 1/𝑛. Эта традиция, несмотря на сомнительную целесообразность, сохранилась в Древней Греции и даже в средневековой Европе.

Элементы алгебры Древнего Египта представляют из себя так называемое «исчисление кучи» или «хау-исчисление», в котором имеется специальный иероглиф для обозначения неизвестного. При решении такого рода задач используется так называемый метод «ложного положения». В математических папирусах Древнего Египта представлены даже задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.

Наиболее развитой представляется геометрия Древнего Египта. Подавляющее большинство задач математического папируса – это задачи на вычисление площадей и объемов, словесные «формулы» которых в основном верны. Наиболее выдающийся результат – формула вычисления объема правильной усеченной пирамиды с квадратными основаниями, которая не встречается ни в одной математической культуре древних.