2020-09-24
84
1. Коэффициент корреляции 
является безразмерной величиной и его значение не зависит от единиц измерения случайных величин Х и Y.
2. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы: -1 ≤ ≤ 1.
3. Если 0< 
<1, то случайные величины Х и Y положительно коррелируемы, то есть с ростом одной величины вторая в среднем также растет (прямая корреляционная зависимость).
4. Если -1< <0, то случайные величины Х и Y отрицательно коррелируемы, то есть с ростом одной величины вторая в среднем убывает (обратная корреляционная зависимость).
5. Если =0, то случайные величины Х и Y являются некоррелированными.
6. Если = ±1, то между случайными величинами Х и Y имеется точная линейная зависимость.
Качественная оценка корреляционной связи между случайными величинами может быть выявлена на основе шкалы Чеддока (табл. 10.1).
Т а б л и ц а 10.1
Значение
| 0,1 – 0,3 | 0,3 – 0,5 | 0,5 – 0,7 | 0,7 – 0,9 | 0,9 – 0,99 |
| Теснота связи | слабая | умеренная | заметная | высокая | очень высокая |
Практическая значимость коэффициента корреляции определяется его величиной, возведенной в квадрат, получившая название коэффициента детерминации.
Например, если = 0,8, то 
= 0,64, т.е. 64 % всех изменений одного признака связано с изменением другого.
Доверительным интервалом статистической оценки истинного значения коэффициента корреляции нормально распределенных случайных величин Х и Y является интервал
.
Здесь – выборочный коэффициент корреляции, величина 
находится по таблице значений функции Лапласа (прил. 1) из условия Ф(
) = 
, где 
– заданный доверительный уровень.
УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИХ РЕГРЕССИЙ
Уравнением линейной среднеквадратической регрессии величины X на величину Y называется уравнение
.
Уравнением линейной среднеквадратической регрессии величины Y на величину X называется уравнение
.
Пример 11.1
Найти коэффициент корреляции и составить уравнение линейной регрессии величины 
на величину 
.
| 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 
|
| 30 | 6 | 4 | 10 | ||||
| 40 | 4 | 1 | 5 | 7 | 17 | ||
| 50 | 3 | 4 | 5 | 6 | 18 | ||
| 60 | 5 | 3 | 10 | 2 | 20 | ||
| 70 | 2 | 3 | 3 | 5 | 13 | ||
| 12 | 12 | 12 | 19 | 12 | 11 |  =78
|
Решение.
Для упрощения расчетов введем условные варианты:
где 
= 5 (разность между соседними значениями вариант );
= 10 (разность между соседними значениями вариант ).
Составим корреляционную таблицу с условными вариантами:
| –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 |
|
| –3 | 6 | 4 | 10 | ||||
| –2 | 4 | 1 | 5 | 7 | 17 | ||
| –1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 18 | ||
| 0 | 5 | 3 | 10 | 2 | 20 | ||
| 1 | 2 | 3 | 3 | 5 | 13 | ||
|
| 12 | 12 | 12 | 19 | 12 | 11 | =78
|
Затем находим 
и 
Теперь находим 
и 
Определяем 
и 
= 
= 
Коэффициент корреляции 
найдем по формуле
где 
корреляционный момент.
При вычислении 
складываем члены вида 
(
частота появления пары (
)):
Тогда 
, а значит
Осуществим переход к исходным вариантам:
Находим уравнение линейной регрессии величины 
на величину 
. Это уравнение имеет вид:
Подставляя вычисленные значения 
в это уравнение, получаем
После упрощения получаем уравнение линейной регрессии величины на величину 
в виде:
=0,325 
+40,566.
