Свойства коэффициента корреляции

1. Коэффициент корреляции  является безразмерной величиной и его значение не зависит от единиц измерения случайных величин Х и Y.

2. Абсолютная величина коэффициента корреляции  не превышает единицы: -1 ≤ ≤ 1.

3. Если 0< <1, то случайные величины Х и Y положительно коррелируемы, то есть с ростом одной величины вторая в среднем также растет (прямая корреляционная зависимость).

4. Если -1< <0, то случайные величины Х и Y отрицательно коррелируемы, то есть с ростом одной величины вторая в среднем убывает (обратная корреляционная зависимость).

5. Если =0, то случайные величины Х и Y являются некоррелированными.

6. Если = ±1, то между случайными величинами Х и Y имеется точная линейная зависимость.

 

Качественная оценка корреляционной связи между случайными величинами может быть выявлена на основе шкалы Чеддока (табл. 10.1).

 

                                                                                             Т а б л и ц а 10.1

Значение	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Теснота связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	очень высокая

 

 

Практическая значимость коэффициента корреляции определяется его величиной, возведенной в квадрат, получившая название коэффициента детерминации.
   Например, если = 0,8, то = 0,64, т.е. 64 % всех изменений одного признака связано с изменением другого.

 

Доверительным интервалом статистической оценки истинного значения коэффициента корреляции нормально распределенных случайных величин Х и Y является интервал

 

                       .

 

Здесь  – выборочный коэффициент корреляции, величина  находится по таблице значений функции Лапласа (прил. 1) из условия Ф() = , где  – заданный доверительный уровень.

 

 

УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ

СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИХ РЕГРЕССИЙ

Уравнением линейной среднеквадратической регрессии величины X на величину  Y называется уравнение

 

.

 

Уравнением линейной среднеквадратической регрессии величины Y на величину  X   называется уравнение

 

.

 

Пример 11.1

  Найти коэффициент корреляции и составить уравнение линейной регрессии величины  на величину .

 

	20	25	30	35	40	45
30		6		4			10
40	4	1	5		7		17
50	3		4	5		6	18
60	5	3		10	2		20
70		2	3		3	5	13
	12	12	12	19	12	11	=78

 

Решение.

Для упрощения расчетов введем условные варианты:

где  

 = 5 (разность между соседними значениями вариант );

 = 10 (разность между соседними значениями вариант ).

 

 

Составим корреляционную таблицу с условными вариантами:

 

	–3	–2	–1	0	1	2
–3		6		4			10
–2	4	1	5		7		17
–1	3		4	5		6	18
0	5	3		10	2		20
1		2	3		3	5	13
	12	12	12	19	12	11	=78

 

Затем находим  и

 

Теперь находим   и   

 

Определяем  и

=

=

 

Коэффициент корреляции   найдем по формуле

где  корреляционный момент.

При вычислении складываем члены вида  (  частота появления пары ()):

Тогда , а значит

 

Осуществим переход к исходным вариантам:

 

 

 

 

 

Находим уравнение линейной регрессии величины  на величину . Это уравнение имеет вид:

Подставляя вычисленные значения  в это уравнение, получаем

После упрощения получаем уравнение линейной регрессии величины  на величину  в виде:

 =0,325 +40,566.