Числовые характеристики случайных величин

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Приведем некоторые примеры случайных величин.

1) Число очков, выпадающих на игральной кости. Эта величина может принимать одно из следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2) Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, …, 100.

3) Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а, b).

Случайные величины в дальнейшем будем обозначать большими буквами X, Y, Z а их возможные значения – соответственно строчными буквами x, y, z. Например, X – число попаданий при трех выстрелах. Возможные значения этой случайной величины: x₁= 0, x₂ =1, x₃ =2, x₄ =3.

Случайная величина называется дискретной, если её возможные значения есть отдельные изолированные числа (т. е. между двумя соседними возможными значениями нет других значений). Дискретная случайная величина принимает эти значения с определенными вероятностями.

Из приведенных выше случайных величин дискретными являются случайные величины примеров 1, 2.

Бывают случайные величины, которые принимают значения из некоторого интервала.

К таким величинам относится случайная величина примера 3.

Чтобы охарактеризовать дискретную случайную величину X, следует указать её возможные значения x₁, x₂, …, x_n и вероятности событий, состоящих в том, что случайная величина X приняла значение x_i:

p_i = P(X = x_i), (i =1, 2, …, n).

В результате испытания произойдет только одно из полной группы событий: X=x₁, X=x₂, …, X=x_n. Поскольку сумма вероятностей полной группы попарно несовместных событий равна 1, то .

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными её значениями и их вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения удобно записывать в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения x_i, а вторая – их вероятности p_i:

X	x₁	x₂	…	x_n
P	p₁	p₂	…	p_n

Эта таблица называется рядом распределения.

Пусть x – некоторое действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение меньше x, обозначим через F(x), т. е. .

Функция F(x) называется функцией распределения случайной величины X.

Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения непрерывна и кусочно-дифференцируема.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:

0 F(x) 1.

2. Функция распределения есть неубывающая функция:

F(x₂) F(x₁), если x₂>x₁.

3. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P (a < X < b) = F (b) – F (a).

4. Справедливы следующие предельные соотношения:

, .

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют первую производную от функции распределения:

f(x) = .

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле

Свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

f(x) 0.

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от – ∞ до ∞ равен единице:

3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется равенством

P (a < X < b) = .

Для решения многих практических задач совсем необязательно знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а достаточно указать отдельные числовые параметры, которые позволяют отразить существенные особенности случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на соответствующие им вероятности: M(X) =x₁ p₁+x₂ p₂+…+x_n p_n.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат всей оси Ox, определяется равенством

M(X) = .

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M (С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M (CX) = CM(X).

3. Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно сумме (разности) математических ожиданий этих величин:

M(X Y) = M(X) M (Y).

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M (X∙Y) = M(X) ∙ M(Y).

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(X) =M(X – M(X))².

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D(X) =M(X²) – (M(X)) ².

Если X является дискретной случайной величиной, то

D(X) =

или D(X) = .

Для непрерывной случайной величины

D(X) = или D(X) = .

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D (С) =0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (CX) =C²D(X).

3. Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X ± Y) = D(X) + D(Y).

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: .

7. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пример 7.1. Независимые испытания производятся до тех пор, пока не появится событие А. Вероятность появления события А в каждом испытании 0,7. Максимальное число испытаний – 3. Составить ряд распределения числа произведенных испытаний. Найти числовые характеристики этой случайной величины. Какова вероятность, что произойдет не более двух испытаний?

Решение. Случайная величина X – число произведенных испытаний – может принимать следующие значения: x₁=1, x₂=2, x₃=3.

Случайная величина X примет значение x₁=1, когда событие А произойдет в первом испытании.

P(X=1) =P (A) =0,7.

Случайная величина X примет значение x₂=2, если событие А не произойдет в первом испытании, но произойдет во втором.

P(X=2) =P ( A) = =0,21.

Случайная величина X примет значение x₃=3, если событие А не появится ни при первом, ни при втором испытании. Так как число испытаний не более трех, то не важно произойдет событие А в третьем испытании или нет.