double arrow

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН


Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Приведем некоторые примеры случайных величин.

1) Число очков, выпадающих на игральной кости. Эта величина может принимать одно из следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2) Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, …, 100.

3)  Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а, b).

 Случайные величины в дальнейшем будем обозначать большими буквами X, Y, Z а их возможные значения – соответственно строчными буквами x, y, z. Например, X– число попаданий при трех выстрелах. Возможные значения этой случайной величины: x1 =0, x2 =1, x3 =2, x4=3.

 

Случайная величина называется дискретной, если её возможные значения есть отдельные изолированные числа (т. е. между двумя соседними возможными значениями нет других значений). Дискретная случайная величина принимает эти значения с определенными вероятностями.




Из приведенных выше случайных величин дискретными являются случайные величины примеров 1, 2.

Бывают случайные величины, которые принимают значения из некоторого интервала.

К таким величинам относится случайная величина примера 3.

Чтобы охарактеризовать дискретную случайную величину X, следует указать её возможные значения x1, x2, …, xnи вероятности событий, состоящих в том, что случайная величина X приняла значение xi:

pi = P( X = xi),(i =1, 2, …, n).

 В результате испытания произойдет только одно из полной группы событий: X=x1, X=x2, …, X=xn. Поскольку сумма вероятностей полной группы попарно несовместных событий равна 1, то .

 Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными её значениями и их вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения удобно записывать в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения xi, а вторая – их вероятности pi:

 

X x1 x2 xn
P p1 p2 pn

Эта таблица называется рядом распределения.

Пусть x – некоторое действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Xпримет значение меньше x, обозначим через F(x), т. е.

Функция F(x)называется функцией распределения случайной величины X.

Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения непрерывна и кусочно-дифференцируема.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:

0 F(x) 1.



 2. Функция распределения есть неубывающая функция:

F(x2) F(x1), если x2 >x1.

3. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P (a < X < b) = F (b)F (a).

4.Справедливы следующие предельные соотношения:

, .

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют первую производную от функции распределения:

f(x) = .

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле

.

Свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

f(x) 0.

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от – ∞ до ∞ равен единице:

.

3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется равенством

P (a < X < b) = .

Для решения многих практических задач совсем необязательно знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а достаточно указать отдельные числовые параметры, которые позволяют отразить существенные особенности случайной величины.

 

Математическим ожиданием  дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на соответствующие им вероятности:                 M(X) =x1 p1+x2 p2+…+xn pn.



Математическое ожидание  непрерывной  случайной величины, возможные значения которой принадлежат всей оси Ox,  определяется равенством

M(X) = .

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M (С) = С.

 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M (CX) = CM(X).

 3. Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно сумме (разности) математических ожиданий этих величин:

M(X Y) = M(X) M (Y).

 4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M (X∙Y) = M(X) ∙ M(Y).

Дисперсией случайной величины Xназывают математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(X) =M(XM(X))2.

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D(X) =M(X2) – (M(X))2.

Если Xявляется дискретной случайной величиной, то

D(X) =   

или D(X) = .

 Для непрерывной случайной величины

D(X) =  или D(X) = .

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D (С) =0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (CX) =C2D(X).

3. Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X ± Y) = D(X) + D(Y).

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: .

7. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пример 7.1. Независимые испытания производятся до тех пор, пока не появится событие А. Вероятность появления события А в каждом испытании 0,7. Максимальное число испытаний – 3. Составить ряд распределения числа произведенных испытаний. Найти числовые характеристики этой случайной величины. Какова вероятность, что произойдет не более двух испытаний?

Решение.Случайная величина X – число произведенных испытаний –   может принимать следующие значения: x1=1,x2=2,x3=3.

Случайная величина X примет значение x1=1, когда событие А произойдет в первом испытании.

P(X=1) =P (A) =0,7.

Случайная величина X примет значение x2=2, если событие А не произойдет в первом испытании, но произойдет во втором.

P(X=2) =P ( A) = =0,21.

Случайная величина X примет значение x3=3, если событие А не появится ни при первом, ни при втором испытании. Так как число испытаний не более трех, то не важно произойдет событие Ав третьем испытании или нет.

P(X=3) =P ( ) = .

Составим ряд распределения случайной величины X.

 

X 1 2 3
P 0,7 0,21 0,09

Проверим тождество . Действительно, 0,7+0,21+0,09=1.

Найдем числовые характеристики случайной величины X.

M(X) = .

Для вычисления дисперсии применим формулу

D(X) =M(X2) – (M(X))2.

Составим ряд распределения случайной величины X2:

 

X2 1 4 9
P 0,7 0,21 0,09

 

Найдем математическое ожидание случайной величины X2:

M(X2) = .

.

.

Пусть событие В –произойдет не более двух испытаний, т. е. произойдет или одно, или два испытания.

P(B)=P(X=1)+P(X=2)=0,7+0,21=0,91.







Сейчас читают про: