Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Если известно, что событие может произойти только совместно с одним из событий (гипотез) , которые образуют полную группу попарно несовместных событий, то вероятность события вычисляется по формуле полной вероятности

где - вероятность гипотезы ,

причем ;

- условная вероятность события , т.е. вероятность события при условии, что произошла гипотеза .

Для определения вероятности гипотезы при условии, что в результате опыта произошло событие , используется формула Бейеса

где формула полной вероятности.

Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез, принятых до опыта, после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .

Пример 4.1 Два автомата изготавливают одинаковые детали. Известно, что первый автомат производит 30% всей продукции. Вероятность изготовления детали, соответствующей стандарту, первым автоматом равна 0,99, вторым – 0,98. Все изготовленные за смену детали складываются вместе. Определите вероятность того, что взятая наудачу деталь не соответствует стандарту.

Решение. Пусть событие - взятая наудачу деталь не соответствует стандарту.

Гипотезы:

- взятая деталь изготовлена первым автоматом;

- взятая деталь изготовлена вторым автоматом.

События , - несовместны и образуют полную группу.

Вычислим вероятности гипотез.

Вычислим условные вероятности:

- вероятность изготовления детали не соответствующей стандарту первым автоматом;

- вероятность изготовления детали не соответствующей стандарту вторым автоматом.

Вероятность события находим по формуле полной вероятности:

ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ

Пусть производится независимых однотипных испытаний, в каждом из которых событие может появиться с вероятностью . Тогда вероятность непоявления события , т.е. , равна .

Вероятность того, что событие произойдет в этих независимых испытаниях ровно раз (безразлично в какой последовательности), можно вычислить по формуле Бернулли

Вероятность того, что в испытаниях событие наступит:

а) менее раз: ;

б) более раз: ;

в) не менее раз: ;

г) не более раз: .

Пример 5.1. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 1/5. Вы купили 5 билетов. Найти вероятность того, что а) четыре билета выигрышные; б) хотя бы один билет выигрышный; в) более трех билетов выигрышные.

Решение. Пусть событие - выигрыш по лотерейному билету. Число лотерейных билетов . - вероятность выигрыша по лотерейному билету: Тогда .