2020-09-24
127
Кручение – такой вид деформации, при котором в любом сечении возникает только крутящий момент.
Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме моментов, приложенных к брусу по одну сторону от сечения.
Крутящий момент положительный, если при взгляде со стороны сечения момент внешней пары направлен против часовой стрелки и наоборот.
Условие прочности при кручении:
,
где 
τкр – расчетное напряжение в сечении;
Мкр – крутящий момент в сечении, берется с эпюры крутящих моментов;
Wρ – полярный момент сопротивления;
[τ]кр – допускаемое напряжение кручения.
Касательные напряжения в сечении не должны превышать допускаемое.
Условие жесткости при кручении:
,
где φ0 – относительный угол закручивания, φ0 = φ/l;
G – модуль упругости при сдвиге;
Iρ – полярный момент инерции при кручении;
[φ0] – допускаемый относительный угол закручивания.
Исходя из приведенных условий прочности и жесткости можно выполнить три вида расчетов: проверочный, проектный и определить допускаемую нагрузку.
|
|
|
Моменты сопротивления для сечений:
1. Сплошного круглого сечения диаметром, d
Wρ = π d3 /16 ≈ 0.2 d3
2. Кольцевого сечения с наружным диаметром D, внутренним – d:
Wρ = π (D4 – d4) /16 D ≈ 0.2 (D4 –d4) / D
Пример решения задачи
Пример. На распределительном валу (рис.4) установлены четыре шкива, на вал через шкив 1 подается мощность 12 кВт, которая через шкивы 2, 3, и 4 передается потребителю; мощность распределяется следующим образом: Р2 = 8 кВт, Р3 = 3 кВт, Р4 = 1 кВт, вал вращается с постоянной скоростью ω = 25 рад/с. Построить эпюру крутящих моментов. Определить диаметр вала, если допускаемое напряжение при кручении [τ]кр = 30 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [φ0] = 0,02 рад/м. Определить общий угол закручивания, если G = 0,8·105 МПа, длины участков l1 = 03 м, l2 = 0,5 м, l3 = 0.4 м.
Решение
1. Определяем моменты пар сил на шкивах.
Вращающий момент определяем из формулы мощности при вращательном движении
Момент на шкиве 1 движущий, моменты на шкивах 2, 3, 4 – моменты сопротивления механизмов, поэтому имеют противоположное направление. При равновесии момент на шкиве 1 равен сумме моментов на шкивах 2, 3 и 4.
m1 = m2 + m3 + m4; m1 = 320 + 120 + 40 = 480 Н·м
2. Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях бруса с помощью метода сечений.
Сечение I (рис.5 а):
m4 – Mk1 = 0; Mk1 = m4; Mk1 = 40 Н·м - крутящий момент отрицательный.
Сечение II (рис. 5 б):
m4 + m3 – Mk2 = 0; Mk2 = m4 + m3; Mk2 = 40 + 120 = 160 Н·м - крутящий момент отрицательный
Сечение III (рис. 5 в):
m4 + m3 – m1 + Mk3 = 0; Mk3 = - m4 - m3 + m1; Mk3 = - 40 - 120 + 480 = 320 Н·м - крутящий момент положительный.
|
|
|
Рис.4
Рис.5
3. Строим эпюру крутящих моментов. Скачек на эпюре всегда численно равен приложенному вращающему моменту.
Выбираем масштаб и откладываем значения моментов, штрихуем эпюру, записываем значения моментов. Эпюра строится под схемой вала. Максимальный крутящий момент на участке III Mk3 = 320 Н·м (рис.4).
4. Определяем размер поперечного сечения вала из условия прочности.
Условие прочности:
.
Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении:
.
Значения подставляем в ньютонах и мм.
Определяем диаметр вала:
; 
; 
5. Определяем размер поперечного сечения из условия на жесткость.
Условие жесткости при кручении:
.
Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:
Определяем диаметр вала:
; 
6. Выбор потребного диаметра из расчета на прочность и жесткость.
Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.
Полученное значение следует округлять так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение dвала = 40 мм.
7. Определяем полный угол закручивания.
Определяем углы закручивания каждого участка:
.
Участок I.
.
Участок II.
Участок III.
Полный угол закручивания определяется как алгебраическая сумма углов закручивания отдельных его участков:
.
.
