Краткие теоретические сведения

  Под воздействием наибольшей сжимающей силы, называемой критической силой, возникает продольный изгиб стержня

Для обеспечения устойчивости необходимо, чтобы действующая на стержень сжимающая сила F была меньше критической F_КР.

Условие устойчивости:

[ F ] ≤  F_КР. / [ n _y ],

где [ n_y ] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

Применение формулы Эйлера и Ясинского

 

Формула Эйлера имеет вид:

,

где Е – модуль упругости;

I_min. – наименьший из осевых моментов инерции сечения;

l_n – приведенная длина стержня, l_п = μ l;

l - длина стержня;

μ – коэффициент приведения длины, зависит от способов закрепления концов стержней (рис.14).

 

 

 

Рис.14. Способы закрепления концов стержней

 

 Так как в основе формулы Эйлера лежит закон Гука, который справедлив только до предела пропорциональности, то существует условие применения этой формулы:

λ ≥ λ_пред.,

т. е. формула Эйлера применима, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости.

λ = μ l / i_min, где i_min² = I_min / A

 

где i_min – минимальный радиус инерции сечения;

A – площадь поперечного сечения стержня.

В случаях, если λ ‹ λ_пред. Применяем эмпирическую формулу Ф.О.Ясинского:

                    σ_кр. = а – в λ,

где   а и в – коэффициенты, зависящие от материала, определяемые по таблицам справочника.

 Значение критической силы определяем:

F_кр = σ_кр·А

Материал	а, МПа	в, МПа	λ0	λпред
Сталь Ст2 Сталь Ст3 Сталь 20, Ст4 Сталь 45 Дюралюмин Д16Т Сосна, ель	264 310 328 449 406 29,3	0,70 1,14 1,15 1,67 1,83 0,194	60 60 60 52 30 -	105 100 96 85 53 70

 

 

Пример решения задачи

Пример.  Проверить устойчивость стержня. Стержень длиной 1 м защемлен одним концом, сечение – швеллер №16, материал – Ст.3, запас устойчивости трехкратный. Стержень нагружен сжимающей силой 82 кН (рис.15).

 

Рис.15

Решение

1. Определяем основные геометрические параметры сечения стержня по ГОСТ 8249 – 89.

Швеллер №16: площадь сечения 18,1 см²; минимальный осевой момент сечения 63,3 см⁴; минимальный радиус инерции сечения i_min = 1,87 см.

2.Определяем гибкость стержня. Предельная гибкость для материала Ст3 λ_пред. = 100.

Расчетная гибкость стержня при длине l = 1 м = 1000 мм

 

λ = μ l / i_min = 2·1000/18,7 = 106,95.

Критическую силу определяем по формуле Эйлера:

 

.

3. Допускаемая нагрузка на стержень [ F ] =  F_КР. / [n _y].

 

.

4. Условие устойчивости  F ≤ [F_у]; 82кН ‹ 105,5кН.

Устойчивость стержня обеспечена.