Пример решения задачи

Пример.  Из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала. На валу установлены два колеса. На колеса действуют две окружные силы F_t1 = 1,2 кН; F_t2 = 2 кН и две радиальные силы в вертикальной плоскости F_r1 = 0,43 кН;  F_r2 = 0,72 кН. Диаметры колес соответственно равны d₁ = 0,1 м; d₂ = 0,06 м. Принять для материала вала [σ] = 50 МПа. Рассчитать размеры вала кольцевого сечения при с = 0,8 (с = d_вн /  d)/ Расчет произвести по гипотезе максимальных касательных напряжений. Весом вала и колес пренебречь.

Решение

Указание. Используем принцип независимости действия сил, составляем расчетные схемы вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определяем реакции в опорах в горизонтальной и вертикальной плоскостях в отдельности. Строим эпюры изгибающих моментов (рис.). Под действием окружающих сил вал скручивается. Определяем действующий на валу крутящий момент. Составляем расчетную схему вала (рис.9).

1. Крутящий момент на валу:

.

2. Изгиб рассматриваем в двух плоскостях: горизонтальной (пл.Н) и вертикальной (пл. V).

В горизонтальной плоскости определяем реакции в опоре:

 

 

     

 

 

                                                                    

 

           Рис.11

 

 

                                                                             Рис.12

 

 

Определяем изгибающие моменты в точках С и В:

 

                .

 

В вертикальной плоскости определяем реакции опор:

 

;

.

.

 

Определяем изгибающие моменты в точках С и В:

 

   

 

Суммарные изгибающие моменты в точках С и В:

 

                

    

 

В точке В максимальный изгибающий момент, здесь же действует и крутящий момент.

Расчет диаметра вала ведем по наиболее нагруженному сечению.

3. Эквивалентный момент в точке В по третьей теории прочности:

 

;      

4. Определяем диаметр вала круглого поперечного сечения из условия прочности:

; ; ;

;

 

Округляем полученную величину: d = 36мм.

5. Определяем необходимые размеры вала кольцевого сечения при

с =0,8; , где d – наружный диаметр вала.

;

; .

 

Диаметр вала кольцевого сечения можно определить по формуле:

 

;     ;

 

; d ≥ 42,5 мм.

Примем диаметр d =42 мм.

Внутренний диаметр d_ВН  = 0,8 d = 33,6 мм.

Округляем до значения d_ВН  = 33 мм.

6. Сравним затраты металла по площадям сечения вала в обоих случаях.

Площадь поперечного сечения сплошного вала:

;

Площадь поперечного сечения полого вала:

 

;  

Площадь поперечного сечения сплошного вала почти в два раза больше кольцевого сечения:

.