Коэффициент корреляции

УРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Практическая часть

Пример 8.1.  Найти коэффициент корреляции и составить уравнение линейной регрессии величины  на величину .

	20	25	30	35	40	45
30		6		4			10
40	4	1	5		7		17
50	3		4	5		6	18
60	5	3		10	2		20
70		2	3		3	5	13
	12	12	12	19	12	11	=78

 

Решение.

Для упрощения расчетов введем условные варианты:

где  

 = 5 (разность между соседними значениями вариант );

 = 10 (разность между соседними значениями вариант ).

 

Составим корреляционную таблицу с условными вариантами:

 

	–3	–2	–1	0	1	2
–3		6		4			10
–2	4	1	5		7		17
–1	3		4	5		6	18
0	5	3		10	2		20
1		2	3		3	5	13
	12	12	12	19	12	11	=78

 

Затем находим  и

 

Теперь находим   и   

 

Определяем  и

=

=

 

Коэффициент корреляции   найдем по формуле

где  корреляционный момент.

При вычислении складываем члены вида  (  частота появления пары ()):

Тогда , а значит

 

Осуществим переход к исходным вариантам:

 

 

 

 

 

Находим уравнение линейной регрессии величины  на величину . Это уравнение имеет вид:

Подставляя вычисленные значения  в это уравнение, получаем

 

 

После упрощения получаем уравнение линейной регрессии величины  на величину  в виде:

 =0,325 +40,566.

Индивидуальные задания

Найти коэффициент корреляции и составить уравнение линейной регрессии величины  на величину .

Вариант 1

	10	15	20	25	30	35
15	6	4					10
25		6	8				14
35				21	2	5	28
45				4	12	6	22
55					1	5	6
	6	10	8	25	15	16	=80

Вариант 2

	20	25	30	35	40	45
10		4	8			4	16
20	2		4		2		8
30			10	8			18
40		4		10	4		18
	2	8	22	18	6	4	=60

Вариант 3

	5	10	15	20	25	30
14	4	6		8		4	22
24		8	10		6		24
34			32				32
44			4	12	6		22
	4	14	46	20	12	4	=100

Вариант 4

 

	15	20	25	30	35	40
100	2	1		7			10
120	4		2			3	9
140		5		10	5	2	22
160			3	1	2	3	9
	6	6	5	18	7	8	=50

Вариант 5

	12	17	22	27	32	37
105		4		3			7
115	2	3	1		10		16
125	3		5	1		4	13
135				8	2	1	11
145	1	2					3
	6	9	6	12	12	5	=50

Вариант 6

	10	15	20	25	30	35
14			4	2	1		7
24	2	1		3	8	5	19
34		4	2	1		3	10
44	3	2	10		3	2	20
54	1	3		9		1	14
	6	10	16	15	12	11	=70

        

Вариант 7

	5	10	15	20	25	30	35
5	10		3	5		1	4	23
15		4	10		2	8		24
25	3	4		6			6	19
35				4	7	1	5	17
45	2	5			10			17
	15	13	13	15	19	10	15	=100

Вариант 8

j	24	28	32	36	40	44	48
10		6		4		2	5	17
20	4		5		7	1		17
30		4	3	5			6	18
40	5	3			10	2		20
50			4	10	4	2	8	28
	9	13	12	19	21	7	19	=100

Вариант 9

	10	15	20	25	30	35
36		4		3			7
46	2	3	1		10		16
56	3		5	1		4	13
66				8	2	1	11
76	1	2					3
	6	9	6	12	12	5	=50

Вариант 10

	42	46	50	54	58	62
15			4	2	1		7
25	2	1		3	8	5	19
35		4	2	1		3	10
45	3	2	10		3	2	20
55	1	3		9		1	14
	6	10	16	15	12	11	=70

Вариант 11

	20	25	30	35	40	45
30		6		4			10
40	4	1	5		7		17
50	3		4	5		6	18
60	5	3		10	2		20
70		2	3		3	5	13
	12	12	12	19	12	11	=78

Вариант 12

	10	15	20	25	30	35
15	6	4					10
25		6	8				14
35				21	2	5	28
45				4	12	6	22
55					1	5	6
	6	10	8	25	15	16	=80

Вариант 13

	20	25	30	35	40	45
10		4	8			4	16
20	2		4		2		8
30			10	8			18
40		4		10	4		18
	2	8	22	18	6	4	=60

Вариант 14

	5	10	15	20	25	30
14	4	6		8		4	22
24		8	10		6		24
34			32				32
44			4	12	6		22
	4	14	46	20	12	4	=100

Вариант 15

	15	20	25	30	35	40
100	2	1		7			10
120	4		2			3	9
140		5		10	5	2	22
160			3	1	2	3	9
	6	6	5	18	7	8	=50

Вариант 16

	12	17	22	27	32	37
105		4		3			7
115	2	3	1		10		16
125	3		5	1		4	13
135				8	2	1	11
145	1	2					3
	6	9	6	12	12	5	=50

Вариант 17

	10	15	20	25	30	35
14			4	2	1		7
24	2	1		3	8	5	19
34		4	2	1		3	10
44	3	2	10		3	2	20
54	1	3		9		1	14
	6	10	16	15	12	11	=70

  

Вариант 18

	5	10	15	20	25	30	35
5	10		3	5		1	4	23
15		4	10		2	8		24
25	3	4		6			6	19
35				4	7	1	5	17
45	2	5			10			17
	15	13	13	15	19	10	15	=100

Вариант 19

j	24	28	32	36	40	44	48
10		6		4		2	5	17
20	4		5		7	1		17
30		4	3	5			6	18
40	5	3			10	2		20
50			4	10	4	2	8	28
	9	13	12	19	21	7	19	=100

Вариант 20

	10	15	20	25	30	35
36		4		3			7
46	2	3	1		10		16
56	3		5	1		4	13
66				8	2	1	11
76	1	2					3
	6	9	6	12	12	5	=50

Вариант 21

	42	46	50	54	58	62
15			4	2	1		7
25	2	1		3	8	5	19
35		4	2	1		3	10
45	3	2	10		3	2	20
55	1	3		9		1	14
	6	10	16	15	12	11	=70

Вариант 22

	20	25	30	35	40	45
30		6		4			10
40	4	1	5		7		17
50	3		4	5		6	18
60	5	3		10	2		20
70		2	3		3	5	13
	12	12	12	19	12	11	=78

Вариант 23

	12	17	22	27	32	37
105		4		3			7
115	2	3	1		10		16
125	3		5	1		4	13
135				8	2	1	11
145	1	2					3
	6	9	6	12	12	5	=50

Вариант 24

	10	15	20	25	30	35
14			4	2	1		7
24	2	1		3	8	5	19
34		4	2	1		3	10
44	3	2	10		3	2	20
54	1	3		9		1	14
	6	10	16	15	12	11	=70

Вариант 25

	5	10	15	20	25	30	35
5	10		3	5		1	4	23
15		4	10		2	8		24
25	3	4		6			6	19
35				4	7	1	5	17
45	2	5			10			17
	15	13	13	15	19	10	15	=100

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ.

КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА

Практическая часть

Пример 9.1. При обследовании 2000 тепличных хозяйств было отобрано 110 теплиц. Распределение их по объему совокупных ежегодных продаж        (ден. ед.) приведено в таблице:

 

Размер объема совокупных ежегодных продаж (ден.ед.)	менее 500	500 - 1000	1000 - 1500	1500 - 2000	2000 - 2500
Число теплиц	8	25	47	18	12

 

Используя критерий  Пирсона, при уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – размер объема совокупных ежегодных продаж распределена по нормальному закону.

 

Решение:

По условию N = 2000 (объем генеральной совокупности), n = 110 (объем выборки). Найдем середины интервалов

 

Варианты		250	750	1250	1750	2250
Частоты		8	25	47	18	12

 

Найдем числовые характеристики выборки

 

= (8·250 + 25·750 + 47·1250 + 18·1750 + 12·2250) = 1254,5;

                                    

             = (8· +25· +47· +18· +12· ) –  =    

          = 279524,679;

 

                      531,121.

Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости               = 0,05 проверим гипотезу : о нормальном распределении случайной величины Х  с параметрами а = = 1254,5 и 531,121 при альтернативной гипотезе : «Случайная величина Х  не распределена по нормальному закону».

Вычислим вероятности  попадания случайной величины Х в заданные интервалы с помощью функции Лапласа (таблица прил. 1):

.

 

<  = Ф(– 1,42) – Ф() = – 0,4222 + 0,5 = 0,0778;

<  = Ф(– 0,48) – Ф(– 1,42) = – 0,1844 + 0,4222 = 0,2378;

<  = Ф(0,46) – Ф(– 0,48) = 0,1772 + 0,1844= 0,3616;

<  = Ф(1,40) – Ф(0,46) = 0,4192 – 0,1772= 0,2420;

 = Ф(  ) – Ф(1,40) = 0,5 – 0,4192= 0,0808.

 

Для проведения расчетов заполним таблицу

                                                                                           Т а б л и ц а 9.1

интервал	частота	теоретическая частота
менее 500	8	8,558	0,0364	7,4784
500 - 1000	25	26,158	0,0513	23,8933
1000 - 1500	47	39,776	1,3120	55,5360
1500 - 2000	18	26,62	2,7913	12,1713
2000 - 2500	12	8,888	1,0896	16,2016
	110	110	= 5,2806	115,2806

 

Контроль: = 5,2806;  = 115,2806 – 110 = 5,2806.

Вычисления произведены правильно.

По таблице прил. 3 по заданному уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы = 5 – 3 = 2 найдем критическое значение

= = 6,0.

Так как = 5,2806 < = 6,0, то нулевая гипотеза о нормальном распределении принимается как не противоречащая опытным данным.