Дискретные случайные величины

Практическая часть

Пример 5.1. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить ряд распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей хотя бы одно будет стандартным?

Решение. Случайная величина X – число стандартных деталей среди отобранных деталей – имеет следующие возможные значения: x₁=0, x₂=1, x₃=2. Найдем вероятности возможных значений X по формуле

где N – число деталей в партии, n – число стандартных деталей в партии, m – число отобранных деталей, k – число стандартных деталей среди отобранных.

Составим искомый ряд распределения:

X	0	1	2
P

Контроль: + + =1.

Найдем числовые характеристики случайной величины X.

M(X) = = ;

D(X) = ;

Пусть событие В -среди отобранных деталей хотя бы одно будет стандартным. Рассмотрим событие , противоположное событию В:

- среди отобранных деталей нет стандартных, P( )=P(X=0)= . Тогда

P (B) =1 – P ( ) =1 – = .

Пример 5.2. В рейс выделено 3 автобуса. Вероятность того, что во время рейса автобус будет работать без поломок, равна 0,9. Составить ряд распределения дискретной случайной величины Х – числа автобусов, работающих без поломок в течение рейса. Найти числовые характеристики. Чему равна вероятность того, что более одного автобуса будут работать безотказно?

Решение. Дискретная случайная величина X (число автобусов, работающих без поломок в течение рейса) имеет следующие возможные значения: x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3.

Автобусы работают независимо один от другого, вероятности безотказной работы каждого автобуса равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n =3, p=0,9, q=1 – p=0,1, получим:

Контроль: .

Напишем искомый ряд распределения:

X	0	1	2	3
P	0,001	0,027	0,243	0,729

Найдем числовые характеристики случайной величины X.

M(X) = = ;

D(X) =

= ;

Пусть событие В -более одного автобуса будут работать безотказно, т. е. или два, или три автобуса.

P (B) =P(X=2) +P(X=3) =0,243+0,729=0,972.

Пример 5.3. Независимые случайные дискретные величины X, Y заданы законами распределения.

X	-6	-3	1	2
P	0,4	0,3	р	0,1

Y	-2	8
P	0,2	0,8

Найти:

1) р;

2) функцию распределения случайной величины X и построить ее график;

3) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=2X-4Y.

Решение.

1) В результате опыта случайная величина X примет только одно из возможных значений , , , , т. е. произойдет только одно из полной группы событий. Поскольку сумма вероятностей полной группы попарно несовместных событий равна 1, то

0,4+0,3+р+0,1=1.

Следовательно, р=1-0,4-0,3-0,1=0,2.

Таким образом, ряд распределения случайной величины Х имеет вид

X	-6	-3	1	2
P	0,4	0,3	0,2	0,1

2) Найдем функцию распределения F(X).

Если , то F(x)=0.

Действительно, значений, меньших числа , величина X не принимает. Следовательно, при функция F(x)=P(X<x)=0.

Если , то F(x)=0,4.

Действительно, X может принимать значение с вероятностью 0,4.

Если , то F(x)=0,7.

Действительно, X может принимать значение с вероятностью 0,4 и значение с вероятностью 0,3; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,4+0,3=0,7.

Если , то F(x)=0,9.

Действительно, X может принимать значение с вероятностью 0,4, значение с вероятностью 0,3, значение 1 с вероятностью 0,2; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять с вероятностью 0,4+0,3+0,2=0,9.

Если , то F(x)=1.