Наборы логических переменных и их свойства

Пусть, например,  булева функция зависит, от трех переменных х₂ , х₁и х₀. Если, х₂ = 0, х₁= 1, х₀ = 1, то совокупность 011 является одним из возможных наборов для некоторой логической функции f(х₂ , х₁, х₀ ). Наборы могут быть представлены различными способами. Указанный выше набор 011 можно представить как , где знак инверсии говорит о том, что х₂ = 0, а отсутствие знака инверсии означает, что  х₁= 1, х₀ = 1.

Представление набора в виде последовательности логических нулей и единиц, можно рассматривать как двоичное число с соответствующим десятичным эквивалентом, например, 011₂=3₁₀. При этом десятичный эквивалент набора является его номером в таблице истинности.

    Представление набора в виде двоичного числа позволяет присваивать логическим переменным условные "веса": в наборе х₂ х₁х₀ для x₀ вес будет равен 1, логическая переменная х₁будет иметь вес, равный 2, а вес переменной х₂ - соответственно, равен 4. Именно поэтому логические переменные удобно обозначать индексированными буквами, начиная с индекса 0 для младшей переменной, 1 для следующей переменной и т.д. до индекса п -1, если функция зависит от п переменных. При таком обозначении индекс переменной совпадает с показателем степени основания двоичной системы счисления, т.е. характеризует вес переменной. Так для переменной х₅ вес будет равен 2⁵ = 32.

    Если функция алгебры логики зависит от п переменных, то всего для них

существует 2 ^п наборов, так как добавление одной переменной увеличивает число наборов в два раза. Одна переменная имеет два набора: 0 и 1, две переменные - четыре: 0 = 00, 1=01,2=10, 3 = 11 и т.д. Десятичный эквивалент набора логических переменных называется номером набора.

Наборы можно рассматривать как двоичные векторы X_i, где i- номер набора, однако надо помнить, что они не являются векторами в классическом смысле, так как над ними нельзя выполнять векторные операции.

  Наборы можно представить в виде вершин n-мерного куба. Это представление здесь рассматриваться не будет.

  Число переменных, имеющих в наборе значение 1, называется весом набора (не путать с двоичным весом переменных). Вес набора удобно изображать римскими цифрами, так для п = 3 имеем: набор 000 с весом 0; наборы 001, 010, 100 с весом I; наборы 011, 101, 110с весом II и набор 111 с весом III.

    Двум любым наборам ставится в соответствие целое число, которое называется расстоянием по Хэммингу. Это число совпадает с числом переменных, входящих в наборы различным образом. Расстояние обозначается d(Xi;Xj). Так для п = 4 имеем d(X₁;Х₁₃) d(0001;1101) = 2, так как только переменные х₃и х₂ входят в наборы различным образом. Если d(Xi;Xj) = 1, тонаборы называются соседними. Вес набора равен расстоянию по Хэммингу отнулевого набора.

Расстояние по Хэммингу удовлетворяет следующим условиям:

d(Xi;Xj) 0; d(Xi;Xj) = 0 тогда и только тогда, когда Xi = Xj.

d(Xi;Xj) = d(Xj;Xi),

d(Xi;Xj)+(Xj;Xk) > d(Xi;Xk).

    Если наборы рассматривать как их десятичные эквиваленты, то для любых двух наборов можно ввести естественную или лексикографическую упорядоченность или отношение порядка (<). Аксиомы отношения порядка. Наиболее простым примером использования отношения полного линейного порядка является естественное расположение наборов переменных в таблицах истинности функций алгебры логики.

    Не все пары наборов находятся в отношении предшествования, например, 010 и 101, наборы одного веса и др. Поэтому наборы в отношении предшествования являются лишь частично упорядоченными. Те, для которых отношение предшествования не выполняется, называются несравнимыми. Отношение предшествования используется для определения класса монотонных булевых функций.