Характеристический критерий

Лекция 3

Оптимизационные модели

Методологические основы оптимизации

В наиболее общем смысле теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на нахождение и идентификацию наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать полного перебора и оценивания возможных вариантов. Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности, поскольку классические функции инженера заключаются в том, чтобы, с одной стороны, проектировать новые, более эффективные и менее дорогостоящие технические системы и, с другой стороны, разрабатывать методы повышения качества функционирования существующих систем.

Эффективность оптимизационных методов, позволяющих осуществить выбор наилучшего варианта без непосредственной проверки всех возможных вариантов, тесно связана с широким использованием достижений в области математики путем реализации итеративных вычислительных схем, опирающихся на строго обоснованные логические процедуры и алгоритмы, на базе применения вычислительной техники.

 

Необходимые условия для применения оптимизационных методов

Для того чтобы использовать математические результаты и численные методы теории оптимизации для решения конкретных инженерных задач, необходимо установить границы подлежащей оптимизации инженерной системы, определить количественный критерий,  на основе которого можно произвести анализ вариантов с целью выявления «наилучшего», осуществить выбор внутрисистемных переменных, которые используются для определения характеристик и идентификации вариантов, и, наконец,  построить модель, отражающую взаимосвязи между переменными. Эта последовательность действий составляет содержание процесса постановки задачи инженерной оптимизации. Корректная постановка задачи служит ключом к успеху оптимизационного исследования и связана в большей степени с искусством, нежели с точной наукой. Искусство постановки задач постигается в практической деятельности на примерах успешно реализованных разработок и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфических особенностей различных методов теории оптимизации.

Определение границ системы

Прежде чем приступить к оптимизационному исследованию, важно четко определить границы изучаемой системы. В данном контексте система предстает как некоторая изолированная часть реального мира. Границы системы задаются пределами, отделяющими систему от внешней среды, и служат для выделения системы из ее окружения. При проведении анализа обычно предполагается, что взаимосвязи между системой и внешней средой зафиксированы на некотором выбранном уровне представления. Тем не менее, поскольку такие взаимосвязи всегда существуют, определение границ системы является первым шагом в процессе приближенного описания реальной системы.

В ряде случаев может оказаться, что первоначальный выбор границы является слишком жестким. Для более полного анализа данной инженерной системы может возникнуть необходимость расширения установленных границ системы путем включения других подсистем, оказывающих существенное влияние на функционирование исследуемой системы. Предположим, например, что на промышленном предприятии имеется красильный цех, в котором готовые изделия поступают на поточную линию и окрашиваются в различные цвета. На первой стадии изучения красильного цеха можно рассматривать его изолированно от других цехов предприятия. Однако анализ может показать, что оптимальный размер партии изделий и последовательность нанесения красителей в существенной степени зависят от особенностей функционирования производственного цеха, в котором выпускаются готовые изделия. Таким образом, возникает необходимость принять решение о расширении границ системы путем включения в нее производственного цеха. Разумеется, расширение границ системы повышает размерность и сложность многокомпонентной системы и, следовательно, в значительной мере затрудняет ее анализ. Очевидно, что в инженерной практике следует, насколько это возможно, стремиться к разбиению больших сложных систем на относительно небольшие подсистемы, которые можно изучать по отдельности. Однако при этом необходимо иметь уверенность в том, что такая декомпозиция не приведет к излишнему упрощению реальной ситуации.

Характеристический критерий

Если подлежащая исследованию система определена и ее границы установлены, то на следующем этапе постановки задачи оптимизации необходимо осуществить выбор критерия, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта, с тем чтобы выявить «наилучший» проект или множество «наилучших» условий функционирования системы. В инженерных приложениях обычно выбираются критерии экономического характера. Однако спектр возможных формулировок таких критериев весьма широк; при определении критерия могут использоваться такие экономические характеристики, как валовые капитальные затраты, издержки в единицу времени, чистая прибыль в единицу времени, доходы от инвестиций, отношение затрат к прибыли или собственный капитал на данный момент времени. В других приложениях критерий может основываться на некоторых технологических факторах. Например,  это когда требуется минимизировать продолжительность процесса производства изделия, максимизировать темпы производства,  минимизировать количество потребляемой энергии, максимизировать величину крутящего момента,  максимизировать нагрузку и т. п. Независимо от того, какой критерий выбирается при оптимизации, «наилучшему» варианту всегда соответствует минимальное или максимальное значение характеристического показателя качества функционирования системы.

Важно отметить, что независимо от содержания оптимизационных методов только один критерий может использоваться при определении оптимума, так как невозможно получить решение, которое, например, одновременно обеспечивает минимум затрат, максимум надежности и минимум потребляемой энергии. Здесь мы опять сталкиваемся с существенным упрощением реальной ситуации, поскольку в ряде практических случаев было бы весьма желательным найти решение, которое бы являлось «наилучшим» с позиций нескольких различных критериев.

Один из путей учета совокупности противоречивых целевых установок состоит в том, что какой-либо из критериев выбирается в качестве первичного, тогда как остальные критерии считаются вторичными. В этом случае первичный критерий используется при оптимизации как характеристическая мера, а вторичные критерии порождают ограничения оптимизационной задачи, которые устанавливают диапазоны изменений соответствующих показателей от минимального до максимального приемлемого значения. В частности, в примере с красильным цехом различными служащими фирмы, которой принадлежит промышленное предприятие, могут быть выбраны следующие критерии.

1.Начальник красильного цеха отдает предпочтение проекту, согласно которому производственный процесс протекает с минимальными изменениями в ассортименте изделий и используемых красок. При этом максимизируется количество изделий, окрашиваемых в единицу времени.

2.Руководитель отдела сбыта заинтересован в реализации проекта, в соответствии с которым объемы складских запасов изделий всех видов и окрасок максимальны. В этом случае минимизируется продолжительность интервала времени между получением заказа от потребителя и его выполнением.

3.Руководитель фирмы отдает предпочтение проекту, в соответствии с которым объемы складских запасов минимальны, с тем чтобы уменьшить капитальные издержки на хранение изделий.

Нетрудно видеть, что эти критерии не могут быть реализованы при оптимизации одновременно. Приемлемым компромиссом является выбор в качестве первичного характеристического показателя качества функционирования системы минимума суммарных затрат в единицу времени с последующим учетом необходимых вторичных условий.   К их числу можно отнести поддержание объемов складских запасов изделий всех видов в заранее установленных границах,  а также ограничение количества изменений в ассортименте изделий и используемых красок в течение недели.