Пример 4. Нелинейная регрессия

Описание задачи. Известно, что соотношение между давлением, молярным объемом и температурой реальных газов отличается от аналогичного соотношения для идеального газа, которое записывается в виде

P*v= R*Т,

где Р — давление (атм), v — молярный объем (см3/г*моль); Т — температура (К), R — универсальная газовая постоянная (82,06 атм*см3/г*моль*К).

Полуэмпирическое уравнение Редлиха — Куонга ориентировано на то, чтобы скомпенсировать отклонение свойств реального газа от свойств идеального газа, и содержит параметры а и b, значения которых определяются на основе экспериментальных данных.

Постановка задачи.  Найти значения параметров а и в, минимизирующих  сумму квадратов остатков. В данном случае эта функция имеет следующий вид:

где Р_i— результат измерения давления в эксперименте с номером I, а остальные два слагаемых в скобках представляют соответствующие члены уравнения в условиях эксперимента с номером i и зависят от параметров а и b.

Кроме задач регрессионного анализа в инженерной практике возникает множество других задач, которые можно формулировать и решать как задачи оптимизации. Отметим ставший классическим подход к определению равновесного состава химической смеси. Известно, что равновесным состоянием замкнутой системы, начальное состояние которой задано, при фиксированной температуре и фиксированном давлении является такое состояние, при котором свободная энергия Гиббса принимает минимальное значение. Показано, что задача определения равновесного состава смеси может быть сформулирована как задача минимизации нелинейной функции при ограничениях, образованных системой линейных уравнений вместе с условиями неотрицательности переменных.

Другая классическая инженерная задача, которую можно сформулировать и решить как задачу оптимизации, связана с определением величин установившихся токов в электрической цепи, составленной из активных сопротивлений.

Если известны величины сопротивлений и полный ток в цепи, то значения токов через сопротивления можно определить путем решения задачи минимизации полной потери мощности в цепи с учетом линейных ограничений, которые обеспечивают выполнение закона Кирхгофа для каждого узла цепи.

Вопросы.

1.Необходимые применения оптимизационных методов.

2.Какие критерии возможны при решении оптимизационных задачах.

3.Сколько критериев может быть у оптимизационной задачи.

4.Что делают, если критериев оптимизации несколько.

5.Что нужно учитывать при выборе независимых переменных.

6.Где применяются методы оптимизации в инженерной практике.