2020-10-10
81
1) Из (2) и (3) следует, что 
.
2) Из (8) следует, что или 
, или 
. Поскольку 
, то получаем 
. Тогда 
. Знак минус соответствует повороту осей на 1800, и вследствие изотропности пространства это не имеет физического смысла. Выбираем 
.
3) Поскольку в уравнения (6)-(10) входят справа или 
, или 
, то они удовлетворяются тождественно и интереса не представляют.
Осталось три уравнения:
Из уравнения (5) находим: 
.
Подставляем в (4):
Þ 
Þ 
.
Полученное подставляем в (1):
Þ 
Þ
Þ 
Þ
(знак плюс выбираем из физических соображений – изотропия пространства).
Отсюда сразу находим закон преобразования пространственных координат:
; 
; 
.
Подставляем значение 
в уравнение (4):
.
Делим на 
и находим 
:
Þ
.
Подставляем полученное значение 
и А1 в ранее полученное выражение (5) и находим 
:
Þ
.
Находим закон преобразования временной координаты:
.
Итак, получены преобразования Лоренца:
K  K’
| K’ K
|
| 
|
Обычно вводят обозначения 
. Тогда:
|
|
|
| K K’
| K’ K
|
| 
|
Преобразования Лоренца обеспечивают инвариантность уравнений Максвелла при переходе от одной ИСО к другой.
При 
«
преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (
), т. е. удовлетворяют принципу соответствия.
| Примечание Уравнение Шредингера неинвариантно относительно преобразований Лоренца |
Следствия из преобразований Лоренца
Следствие 1
Относительность длины
Рассмотрим некоторую линейку (масштаб), неподвижную в движущейся системе отсчета 
.
РИС. 4п-1
Длина этой линейки в системе :
, 
- так называемая собственная длина линейки.
Какова длина этой же линейки в системе 
, т.е. какую длину этой линейки измерит наблюдатель, находящийся в неподвижной системе отсчета ?
Воспользуемся преобразованиями Лоренца:
Положения концов линии - это события, поэтому в системе 
нужно задать координаты событий:
- положение одного конца линейки,
- положение другого конца линейки.
Величина 
может считаться длиной линейки (масштаба) в том, и только в том случае, если пространственные координаты обоих концов определяются одновременно, т.е. 
, или 
.
Рассмотрим это положение подробнее. Для этого разберем пример.
Пример
Измерение длины движущегося поезда.
РИС. 4п-2
1) Собственную длину измеряем непосредственно в поезде путем протягивания мерной ленты через все вагоны и паровоз.
2) Измеряем длину поезда из неподвижной системы координат K.
а) Пусть в момент 
измерено положение хвоста поезда 
; в момент времени 
измерено положение головы поезда 
. Однако за время 
поезд прошел расстояние 
. Поэтому кажущаяся его длина в неподвижной системе отсчета 
.
|
|
|
РИС. 4п-3
б) Другая последовательность измерений.
Пусть в момент 
фиксируется положение головы поезда 
, в момент времени 
фиксируется положение хвоста поезда 
.
.
РИС. 4п-4
Если интервал, промежуток времени 
, достаточно велик, то можно получить абсурдный результат 
.
Общий вывод
Пространственной длиной масштаба (или просто длиной масштаба) называется величина 
при условии, что пространственные координаты концов его определялись одновременно.
Итак, длина масштаба, измеренная из неподвижной системы отсчета при условии 
: 
Þ
|
Длина масштаба 
в системе 
в направлении движения меньше его собственной длины 
в системе 
. Это явление называется лоренцовым сокращением длины.
Поскольку сокращение происходит только в направлении движения тела, его объем есть 
.
Движущееся тело сплющивается в направлении движения.
| Вывод Длина, линейный размер, объем не являются понятиями абсолютными, они относительны, они зависят от того, в какой системе отсчета они измеряются. |
Следствие 2
Относительность промежутков времени
Если часы находятся в точке 
, то преобразование времени:
.
Пусть в неподвижной системе отсчета прошел некий промежуток времени: начало 
, конец 
, интервал 
.
Тогда в движущейся системе отсчета:
.
Поскольку 
, то всегда 
.
