Какие между ними связи?

1) Из (2) и (3) следует, что .

2) Из (8) следует, что или , или . Поскольку , то получаем . Тогда . Знак минус соответствует повороту осей на 180⁰, и вследствие изотропности пространства это не имеет физического смысла. Выбираем .

3) Поскольку в уравнения (6)-(10) входят справа или , или , то они удовлетворяются тождественно и интереса не представляют.

 

Осталось три уравнения:

 

Из уравнения (5) находим: .

Подставляем в (4):

Þ      Þ .

Полученное подставляем в (1):

Þ    Þ

Þ     Þ   

(знак плюс выбираем из физических соображений – изотропия пространства).

Отсюда сразу находим закон преобразования пространственных координат:

;   ;     .

Подставляем значение  в уравнение (4):

.

Делим на  и находим :

Þ  

.

Подставляем полученное значение и А₁ в ранее полученное выражение (5) и находим :

Þ  

.

Находим закон преобразования временной координаты:

.

 

Итак, получены преобразования Лоренца:

 

K K’	K’ K

 

Обычно вводят обозначения . Тогда:

K K’	K’ K

 

Преобразования Лоренца обеспечивают инвариантность уравнений Максвелла при переходе от одной ИСО к другой.

При «  преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (), т. е. удовлетворяют принципу соответствия.

 

 

Примечание Уравнение Шредингера неинвариантно относительно преобразований Лоренца

 

Следствия из преобразований Лоренца

 

Следствие 1

Относительность длины

Рассмотрим некоторую линейку (масштаб), неподвижную в движущейся системе отсчета .

РИС. 4п-1

 

Длина этой линейки в системе :

,  - так называемая собственная длина линейки.

Какова длина этой же линейки в системе , т.е. какую длину этой линейки измерит наблюдатель, находящийся в неподвижной системе отсчета ?

Воспользуемся преобразованиями Лоренца:

Положения концов линии - это события, поэтому в системе  нужно задать координаты событий:

- положение одного конца линейки,

- положение другого конца линейки.

Величина  может считаться длиной линейки (масштаба) в том, и только в том случае, если пространственные координаты обоих концов определяются одновременно, т.е. , или .

Рассмотрим это положение подробнее. Для этого разберем пример.

 

Пример  

Измерение длины движущегося поезда.

 

РИС. 4п-2

 

1) Собственную длину  измеряем непосредственно в поезде путем протягивания мерной ленты через все вагоны и паровоз.

2) Измеряем длину поезда из неподвижной системы координат K.

 

а) Пусть в момент  измерено положение хвоста поезда ; в момент времени  измерено положение головы поезда . Однако за время  поезд прошел расстояние . Поэтому кажущаяся его длина в неподвижной системе отсчета .

РИС. 4п-3

 

 

б) Другая последовательность измерений.

Пусть в момент  фиксируется положение головы поезда , в момент времени  фиксируется положение хвоста поезда .

.

РИС. 4п-4

 

 

Если интервал, промежуток времени , достаточно велик, то можно получить абсурдный результат .

 

Общий вывод

Пространственной длиной масштаба (или просто длиной масштаба) называется величина  при условии, что пространственные координаты концов его определялись одновременно.

Итак, длина масштаба, измеренная из неподвижной системы отсчета при условии :       Þ

 

Длина масштаба  в системе  в направлении движения меньше его собственной длины  в системе . Это явление называется лоренцовым сокращением длины.

 

Поскольку сокращение происходит только в направлении движения тела, его объем есть .

Движущееся тело сплющивается в направлении движения.

 

Вывод Длина, линейный размер, объем не являются понятиями абсолютными, они относительны, они зависят от того, в какой системе отсчета они измеряются.

 

Следствие 2

Относительность промежутков времени

 

Если часы находятся в точке , то преобразование времени:

.

Пусть в неподвижной системе отсчета прошел некий промежуток времени: начало , конец , интервал .

Тогда в движущейся системе отсчета:

.

Поскольку , то всегда .