Итерационные методы решения

Возможны два пути применения итераций при решении системы уравнений.

I. Итерационное решение системы уравнений (применяется вместо метода Гаусса). Порядок итераций такой (см. схему на рис. 12.3):

1) Задаемся начальными значениями потенциала в точках 1, 2, 3 …, например (кроме А, В,…, в которых потенциал известен).

2) Проводим итерационное уточнение значений потенциала, для этого обходим по очереди все точки модели:

- у точки 1 в уравнение постоянства заряда входят значения в точках со второй по пятую; поскольку все они имеют нулевой потенциал, значение в точке 1 после первой итерации не изменится: ;

- у точки 2 среди соседей есть точки A и B, потенциалы которых и известны, а , по этим данным из уравнения постоянства заряда можно найти ;

- пройдя по остальным точкам, убедимся, что в них потенциал не изменится: .

3) Теперь будем считать новыми значениями в т. 1, 2, 3 и повторим итерационное уточнение значений потенциала:

- в точке 1 потенциал изменится , поскольку на предыдущей итерации изменился потенциал в смежной с ней точке 2;

- в точке 2 потенциал не изменится , поскольку на предыдущей итерации не изменялся потенциал в смежных с ней точках A, B, 1 и 3;

- из остальных точек потенциал изменится в точке 3 , поскольку на предыдущей итерации изменился потенциал в смежной с ней точке 2.

4) Такой перебор всех точек будем повторять, пока хотя бы в одной из них будет происходить изменение потенциала. Итерации прекращаются, когда эти изменения за итерацию станут меньше заданного уровня точности :

Достоинствами этого метода являются простота (уравнения составляются и решаются поочередно, полная система уравнений не составляется) и устойчивая сходимость при любом числе неизвестных. Его недостаток необходимость многократных обходов и медленная сходимость (особенно вначале, если исходное приближение выбрано неудачно).

Разновидностью данного метода является метод Зейделя, в котором применение найденных значений неизвестных производится сразу, а не со следующей итерации.

II. Итерационное уточнение решения, полученного методом Гаусса. Чтобы организовать итерационный процесс, нужно представить искомое значение на итерации в виде суммы значения на предыдущей итерации и приращения за итерацию:

. (12.12)

Подставив это выражение в систему уравнений (12.7), получим:

;

. (12.13)

Это система уравнений относительно , аналогичная (12.7), но с правой частью. Выражение в правой части представляет собой невязку (погрешность) после предыдущей итерации.

Ход итерационного процесса такой:

1) Задаемся начальными значениями потенциала .

2) Находим из решения системы (12.13) , затем по формуле (12.12).

3) Если после подстановки этих значений в исходные уравнения (12.7) получаем тождества, то найденные значения являются точными, и итерации прекращаются. Если же невязка ненулевая, то выполняется следующая итерация. Невязка от предыдущей итерации оказывается в правой части уравнений (12.13), и мы ищем такую добавку к значениям неизвестных , чтобы она скомпенсировала невязку от предыдущей итерации. Суммируя предыдущее решение с этой добавкой, находим новое приближение по формуле (12.12).