Признаки сходимости числовых рядов c положительными членами

 

Числовой ряд называется рядом с положительными членами или просто положительным рядом, если все члены ряда

 

  u ₁ + u ₂ + u ₃ +... + u_n  +...

 

больше нуля . Рассмотрим признаки сходимости для положительных рядов.

Первый признак сравнения. Пусть даны три ряда:

 ряд, сходимость которого надо определить    

 

 u ₁ + u ₂ + u ₃ +... + u_n  +...                                                                          (7.4)

 

сходящийся ряд v ₁ + v ₂ + v ₃ +... + v_n  +...                                             (7.5)

 

расходящийся ряд  w ₁ + w ₂  + w ₃ +... + w_n +...                                 (7.6)                                       

 Тогда:

а) если начиная с некоторого номера n, выполняется условие    

u_n £ v_n                                                                                                                                                                   (7.7)                                                                                                                                

 

то из сходимости ряда (7.5) следует сходимость ряда (7.4);

б) если, начиная с некоторого номера n, выполняется условие

 u_n ³ w_n                                                                                                  (7.8)

то из расходимости ряда (7.6) следует расходимость ряда (7.4).

 Доказательство.

 а) Обозначим частичные суммы рядов

 

S_n = u ₁ + u ₂  + u ₃ +... + u_n

Ф _n = v ₁ + v ₂ + v ₃ +... + v_n  

 

в силу условия (7.7) имеем S_n £ Ф _n.

По условию ряд (7.5) сходится, т.е.   = Ф, следовательно

Ф ³ Ф _n ³ S_n.

Это означает, что последовательность частичных сумм S_n  возрастает (в силу положительности ряда (7.4)) и ограниченна сверху величиной Ф. Поэтому  существует и конечен, а ряд (7.4) сходится.

б) Обозначив частичную сумму ряда (7.6) за W_n

W_n  = w ₁ + w ₂ + w ₃ +... + w_n,

в силу (7.8) имеем S_n ³ W_n.

По условию ряд (15.6) расходится, т.е.  = ¥, следовательно

и ряд (15.4) расходится.

 

Второй признак сравнения. Пусть даны два ряда

 

u ₁ + u ₂ + u ₃ +... + u_n  +...                                                                         (7.9)

 v ₁ + v ₂ + v ₃ +... + v_n  +...                                                                         (7.10)

 

и можно указать такие постоянные числа k₁ > 0 и k₂ > 0, что, начиная с некоторого достаточно большого n,

 

                                                                                           (7.11)

Тогда ряды (7.9) и (7.10) одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Доказательство. Из (7.11) следует, что

 

k ₁ v_n  £ u_n £ k ₂   v_n.                                                                                 (7.12)

 

Если ряд (7.9) сходится, то из левого неравенства (7.12) по первому признаку сравнения вытекает сходимость ряда

 

k ₁ v ₁ + k ₁ v ₂  + k ₁ v ₃ +... + k ₁ v_n +...

Из сходимости этого ряда, по свойству 2, вытекает и сходимость ряда (7.10).

Предположим теперь, что ряд (7.9) расходится. В этом случае расходится и ряд

 

 

Из правой части (7.11) следует, что

Следовательно, по первому признаку сравнения, ряд (7.10) также расходится.

Следствие (предельный признак сравнения). Если для рядов (7.9) и (7.10) выполняется условие

 = r < ¥, где r ¹ 0,                                                             (7.13)

                                                                         

то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

 

Для сравнения обычно используются следующие эталонные ряды.

Геометрический ряд (ряд геометрической прогрессии)

 

a + aq + aq ² +... + aq^{n -1} +....

 

Геометрический ряд сходится при условии q < 1. В противоположном случае (q ³ 1) ряд расходится. Например, ряд

,

сходится, а ряд

 

1 + 2 + 4 +... + 2 ^{n -1} +..., q = 2

 

расходится. Можно также сказать, что этот ряд расходится потому, что не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

Обобщенным гармоническим рядом называется ряд

 

 

Этот ряд сходится при p > 1 и расходится при p £ 1.

Например, ряд

- сходится, а ряд

- расходится.

Обобщенный гармонический ряд при p = 1 называют просто гармоническим рядом:

Гармонический ряд расходится!

Действительно, сгруппируем члены ряда по степеням 2

 

Так как сумма слагаемых в каждой скобке больше .

Пример. Исследовать сходимость ряда

 

Решение. Сравним общий член этого ряда с геометрическим рядом , который сходится. Так как

 

то, по первому признаку сравнения исследуемый ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

 

 

Решение. Сравнивая общий член этого ряда с общим членом гармонического ряда

 

 

заключаем, что этот ряд также расходится (по первому признаку сравнения).

Пример. Исследовать сходимость ряда

 

 

Решение. Воспользуемся следствием из второго признака сравнения, сравним с расходящимся гармоническим рядом

При вычислении предела мы использовали правило Лопиталя: предел отношения двух функций с неопределенностью или  равен пределу

отношения производных . Поэтому

.

 

Сравниваемые ряды ведут себя одинаково, поэтому заключаем, что исследуемый ряд расходится (т.к. гармонический ряд расходится).

Пример. Исследовать сходимость ряда

 

 

Решение. Рассмотрим отношение членов этого ряда к соответствующим членам гармонического ряда:

- при нечетном n имеем ,

- при четном n имеем     .

Следовательно, отношение u_n / v_n ни к какому пределу не стремится. Однако при всех n оно заключено между 1/2 и 2. Поэтому согласно второму признаку сравнения исследуемый ряд ведет себя так же, как и гармонический, т.е. расходится.

Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами. Пусть дан положительный ряд

 

u ₁ + u ₂ + u ₃ +... + u_n  +...                                                               (7.14)

 

Если отношения последующего члена ряда u_n к предыдущему u_{n -1}, начиная с некоторого значения n = N, удовлетворяет неравенству

 

                                                                                 (7.15)

то ряд (7.14) сходится.

Если же, начиная с некоторого N, имеем

                                                                                       (7.16)

то ряд (7.14) расходится.

Доказательство. Пусть имеет место соотношение (7.15), которое выполняется для всех n. Тогда

 

u_n £ u_{n -1} q, u_{n -1} £ u_{n -2} q,..., u ₂ £ u ₁ q.

 

Отсюда, подводя почленную подстановку, получаем

 

u_n £ u ₁ q^{n -1}        

                      ^.                                                                                                              

Это неравенство означает, что общий член ряда (7.14) не превосходит соответствующего члена сходящегося (q < 1) геометрического ряда. В силу первого признака сравнения ряд (7.14) сходится.

Пусть имеет место соотношение (7.16). Тогда

 

u ₁  < u ₂ < u ₃  <...< u_{n -1}  < u_n <...,

 

т.е. члены ряда не убывают по мере возрастания n. Следовательно, не выполнено необходимое условие сходимости ряда и ряд (7.14) расходится. Если условие выполняется начиная с некоторого номера n, то это означает, что сходится остаток ряда, а по первому свойству сходится и сам ряд.  На практике удобнее пользоваться предельным признаком Даламбера, формулировку которого дадим в виде следствия.

Следствие. (Предельный признак Даламбера). Если

 

,

 

то при p < 1 ряд (7.14) сходится, при p > 1 этот ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

 

 

Решение. Рассмотрим предел отношения

 

 

Следовательно, исследуемый ряд сходится.

Замечание. Если  , то признак Даnамбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. В этих случаях надо привлекать другие признаки сходимости ряда.