Основные свойства сходящихся числовых рядов

Свойство 1. Ряд и его остаток сходятся и расходятся одновременно. Действительно, частичная сумма ряда при фиксированном n есть число. Рассмотрим сумму m слагаемых .

.

Рассмотрим предел этого выражения при . Так как предел постоянной равен самой постоянной, а от m не зависит и является величиной постоянной, то

.

Оба предела одновременно конечны или бесконечны.

Следствие. Добавление или отбрасывание конечного числа членов не изменяет сходимости ряда.

Свойство 2. При умножении ряда на число с его сходимость не меняется. Докажем свойство для сходящихся рядов. Если ряд

u ₁ + u ₂ + u ₃ +... + u_n  +... = .                                                                 

сходится и имеет сумму S, то ряд

 

cu ₁  + cu ₂  +... + cu_n +..,                 

 

также сходится и имеет сумму с∙S.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда

 

s_n = cu ₁  + cu ₂ + cu ₃ +... + cu_n = cS_n.

 

 Поэтому

 

 

Свойство 3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Доказательство. Пусть

 

u ₁ + u ₂  + u ₃ +... + u_n +... = S;

v ₁ + v ₂ + v ₃ +... + v_n  +... = Ф,

 

тогда ряд

 

(u ₁± v ₁) + (u ₂ ± v ₂) +... + (u_n ± v_n) +...

 

также сходится и имеет сумму S ± Ф, так как предел суммы равен сумме пределов

 

 

Замечание. При сложении сходящегося и расходящегося ряда суммарный ряд тоже будет расходится.