V. Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция y = g(u), где u = f(x). Если функция u = f(x)  дифференцируется в некоторой точке Х, а функция y = g(x)  определена на множестве значений функции f(x)  и дифференцируется в точке u = f(x),  то сложная функция y = g(f(x))  в данной точке Х имеет производную, которая находится по формуле:

                                             (1.8)

Правило дифференцирования сложной функции (2.8) может быть записано и в других формах:   или

Пример 6.  Найти производную функции

Решение. Функцию можно представить в виде , где . Поэтому на основании формулы (1.8)             

Пример 7.  Найти производную функции

Решение. Функцию можно представить в виде , где . Поэтому на основании формулы (1.8)         

Пример 8.  Найти производную функции

Решение. Данная функция представляет произведение двух функций  и , каждая из которых является сложной функций (, где ;  где ). Поэтому

Пример 9.  Найти производную функции

Решение. Прежде чем дифференцировать функцию, целесообразно упростить ее выражение, применяя формулы логарифмирования:

 Теперь

Пример 10.  Найти производную функции

Решение. По правилу дифференцирования частного двух функций (1.7)

Пример 11.  Найти производную функции

Решение.  Производная функции

Пример 12.  Найти производную функции

Решение. Производная функции

 

VI.  Упражнения

1. Применяя общую схему, найти производные функций:

1.		3.
2.		4.

 

 

2. Найти производные функций:

1.		18.
2.		19.
3.		20.
4.
5.		21.
6.		22.
7.		23.
8.		24.
9.		25.
10.		26.
11.		27.
12.		28.
13.		29.
14.		30.
15.		31.
16.		32.
17.		33.

 

3. Найти производные сложных функций:

1.		28.
2.		29.
3.		30.
4.		31.
5.		32.
6.		33.
7.		34.
8.		35.
9.		36.
10.		37.
11.		38.
12.		39.
13.		40.
14.		41.
15.		42.
16.		43.
17.		44.
18.		45.
19.		46.
20.		47.
21.		48.
22.		49.
23.		50.
24.		51.
25.		52.
26.		53.
27.		54.

 

Домашнее задание.

1. Разобрать теоретический материал и решения примеров по представленным в методичке разделам темы «Производная функции».

2. Решить дома следующие примеры из раздела VI.

ü Задание 2 «Найти производные функций»:

 № 2,4,5,6,9,10,12,17,18,25,26,29,33.

ü Задание 2 «Найти производные сложных функций»:

№ 4,7,8,9,24,25,27,29,30,41,42,43,44,46,47.

Решенные примеры будут частично разобраны в каждой группе на следующем занятии, которое будет проходить в очном режиме.