Рис. 1.29. Интегрирование методом трапеций

На рис.1.29 наглядно показано разбиение интервала интегрирования по х с заданным шагом, а также вектор значений функции в точках разбиения по х (то есть при данных значениях аргумента). Получилось значение интеграла равное -0,3261.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы.

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение: H(t, x, x^’, x^’’, …, x⁽ⁿ⁾)=0

Решением дифференциального уравнения называется функция x(t), которая обращает уравнение в тождество.

Системой дифференциальных уравнений n-го порядка называется система вида:

x₁^’=f₁(t, x₁, x₂, x₃, …, x_n) x₂^’=f₁(t, x₁, x₂, x₃, …, x_n) ………………………….. x_n^’=f₁(t, x₁, x₂, x₃, …, x_n)

Системой линейных дифференциальных уравнений называют систему вида:

x₁^’=

x_j + b₁ x₂^’=

x_j + b₁ .………………….. x_n^’=

x_j + b₁

Решением системы является вектор x(t)=x₁(t), x₂(t), …,x_n(t), который обращает вышеприведенные системы уравнений в тождества.

Различают: задачу Коши, когда все дополнительные условия заданы в одной (чаще всего в начальной) точке интервала значений t; краевую задачу, когда дополнительные условия заданы на границах интервала значений t.

Есть много встроенных функций, обеспечивающих решение вышеуказанных задач. Ниже описаны некоторые из них с примерами их использования. Входными параметрами этих функций являются:

· f вектор-функция для вычисления правой части уравнения вида x^’=f(x,t), удовлетворяющей начальному условию x(t₀)=x₀ или системы дифференциальных уравнений, данных в матричном виде dx/dt=f(t,x) с начальным условием x(t₀)=x₀ данным в матричном виде.

· interval массив из двух чисел, определяющий интервал интегрирования дифференциального уравнения или системы.

· X0 вектор начальных условий системы дифференциальных уравнений.

· options параметры управления ходом решения дифференциального уравнения или системы уравнений.

Все функции возвращают:

· Массив Т содержащий координаты узлов сетки, в которых ищется решение.

· Матрицу Х в которой i-й столбец является значением вектор-функции решения в узле T_i.

Решим задачу Коши: dx/dt + x =sin xt при x(0)=1.5. Напишем М-функцию. Используем функцию ode113, которая реализует метод Адамса. Она строит график (рис.1.30) решения.